Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell - Définition et Explications

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L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Pour le champ E

On part de la relation :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right)-\Delta\vec{E}

dans le vide, la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) volumique étant nulle, l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Maxwell-Gauss s'écrit :

\operatorname{div} \vec{E}=0

et avec Maxwell-Faraday

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

la relation initiale devient :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = - \Delta\vec{E}

Grâce au théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

-\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = - \Delta\vec{E}

or le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de...) \vec\jmath est nul aussi, l'équation de Maxwell-Ampère devient donc :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

d'où :

\Delta\vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}

Pour le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) B

On part de la relation :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div} \vec{B}\right)-\Delta\vec{B}

dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), la densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface...) étant nulle, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

soit :

\operatorname{div} \vec{B}=0

La relation initiale devient alors :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right) = -\Delta\vec{B}

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = - \Delta\vec{B}

On peut alors utiliser l'équation de Maxwell-Faraday :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

On obtient alors à partir de la relation initiale, avec la relation ε0μ0c2 = 1 :

\Delta\vec{B} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}
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