Vecteur densité de courant
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Vecteur densité courant de charge.
Vecteur densité courant de charge.

On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit \mathrm d\vec S un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose  :

\vec j le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on...)

tel que

\mathrm di = \vec j\cdot\mathrm d\vec S.

On a alors

i = \iint_S \vec{j} \cdot\mathrm d\vec{S}.

Le signe de i est alors lié à l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) S.

Expression de j

On montre, du fait que i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}, que dans le cas où il n'y a qu'un seul type de porteur (électron par exemple) on a :

\vec{j} = q \cdot n \cdot \langle\vec v\rangle

  • q est la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.) d'un porteur,
  • n la densité volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) des porteurs (nombre de porteurs par unité de volume) et
  • \langle\vec v\rangle le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) vitesse (On distingue :) moyen des porteurs.

Dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs (solution électrolytique par exemple) on aura :

\vec j=\sum_k q_k \cdot n_k \cdot \langle\vec{v}\rangle_k

A noter que \langle\vec{v}\rangle_k dépend des autres porteurs de charges.

Vecteur densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface (figure). Mathématiquement, le courant et la densité de courant sont liés par la relation :) surfacique jS

Supposons qu'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) du conducteur soit faible devant les autres, on aura alors une " feuille " d'épaisseur e négligeable, alors :

i = \iint_S \vec{j} \cdot\mathrm d\vec{S} = \int \left(\int_0^e \vec j\ \mathrm dy\right)\ \mathrm dx\cdot\vec u

on pose alors :

\vec{j_S} = \int_0^e \vec j\ \mathrm dy

ce qui donne

i = \int \vec{j_S}\ \mathrm dx \cdot \vec{u}
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