Fonction de Bessel
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Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel non nul n.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

  • les fonctions de Bessel de première espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou...) Jn, solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) différentielle ci-dessus qui sont définies en 0,
  • les fonctions de Bessel de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) espèce Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) ou cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de...), mais s'aplanissent parce qu'elles sont divisées par un terme de la forme \sqrt{x}.

Plot of Bessel J

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

  • les ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte...) électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne).
  • les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire.
  • l'étude d'instruments optiques.
  • Le pendule de Bessel (Quand la longueur d'un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu'il s'agit d'un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites oscillations) s'exprime à...)

Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

J_n(x)=(x/2)^n \sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over 2^{2p} p! (n+p)!} x^{2p}

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_{-\lambda}(x) \over \sin(\lambda \pi)}

Propriétés (des Jn)

  • Relations de récurrence :
J_{n+1}(x)={n J_n(x) \over x}-J_n'(x)
J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={2n \over x} J_n(x)
J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2J_n'(x)\,
  • On en déduit :
J_1(x)=-J_0'(x)\;
\frac{d}{dx}(x^n J_n(x))=x^n J_{n-1}(x)\;
  • Orthogonalité :

λi et λj étant deux zéros distincts de J_n, on a : \int_{0}^{1} x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\, dx = 0

Voir aussi:

  • fonction de Hankel
  • synthèse FM

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