Pendule de Bessel - Définition
Quand la longueur d'un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu'il s'agit d'un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites oscillations) s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel. Si v est faible, on retrouve l'invariant adiabatique E(t)T(t) ( voir pendule adiabatique).
Équation du pendule de longueur variable
Le pendule simple de longueur variable a pour équation pour cette loi temporelle de l(t) où sa dérivée seconde est nulle:
Dans le cas habituel g est constant. Revenons à la fonction angulaire
Posons comme nouvelle variable sans unités
Puis pour simplifier, posons comme longueur
On reconnait l'équation circuit RLC avec self variable linéairement, c'est un problème classique (voir obtention de champs magnétiques intenses). On peut encore transformer cette équation.
Équation de Bessel
On fait un nouveau changement de variable sans unités
On change de fonction y(α) = αθ(α), et on finit par trouver une équation de Bessel avec n=1:
Les solutions sont les fonctions de Bessel, fonctions classiques de la physique mathématique (cf Campbell, par exemple):
D'où:
Résolution avec les conditions initiales
On résout ce système linéaire de deux équations à deux inconnues et qui donne finalement :
On peut alors tracer θ(t) à l'aide d'un logiciel.
On peut même vérifier graphiquement, que si v est faible, E(t)T(t) est une constante (pendule adiabatique). Il faut néanmoins se rappeler qu'on s'est toujours placé dans le cas des petites oscillations. Bien sûr, n'importe quelle méthode numérique type Runge-Kutta donne les mêmes résultats sans obtenir la formule générale.
