Logarithme intégral
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Logarithme intégral
Logarithme intégral

En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠ 1 par l'intégrale :

{\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \;.

Ici, ln désigne le logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur ...). La fonction t\mapsto 1/ln (t) n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) pour x> 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :

{\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \;.

Le comportement de croissance de cette fonction pour x → ∞ est

{\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln (x)} \right) \;.

(Voir Notation O).

Le logarithme intégral (En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠ 1 par l'intégrale :) est important parce qu'il intervient dans les estimations de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est...) des nombres premiers, plus particulièrement dans le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des nombres premiers :

on a

π(x) ~ Li(x)

où π est une fonction multiplicative; π(x) est égal au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x,

et Li est la fonction d'écart logarithmique intégrale, relativement à li définie par

Li(x) = li (x) - li(2).

L'écart logarithmique intégral donne une légèrement meilleure estimation de π que la fonction li. La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel strictement positif x ≠ 1, li(x) = Ei (ln (x)).

Ceci mène aux développements en séries de li (x), par exemple:

{\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!},

où γ ≈ 0.57721 56649 01532... est la constante d'Euler-Mascheroni.

La fonction li a un seul zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) strictement positif; il se trouve en x ≈ 1.45136 92348...; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

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