Logarithme naturel
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En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur ]0 ; + \infty[ et qui s'annule en 1.

Le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel...) de x est la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) à laquelle il faut élever e pour trouver x.

Cette fonction a été longtemps notée Log pour la différencier de la fonction log (logarithme décimal). On préfère de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil...) la notation ln.

Fragments d'histoire

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme). La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. Le terme de logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse...) apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator. Sa série exploitée par Newton (méthode des fluxions et des suites infinies 1671), permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus "simple" et le plus naturel.

Fonction ln comme primitive de la fonction inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...)

Formellement, ln(x) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) représentative de la fonction x\mapsto \frac{1}{x}, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et x.

Cette approche, respectueuse de la réalité historique, permet de prouver l'existence de la fonction ln et ses diverses propriétés. La fonction x \mapsto \frac 1x est une fonction continue sur ]0 ; + \infty[. Elle admet donc des primitives dont une s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est définie par :

\ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt.

Propriétés immédiates

Il est alors immédiat de dire que la fonction ln est définie sur ]0 ; + \infty[, dérivable sur ]0 ; + \infty[ et que \ln'(x) = \frac 1x. Puisque sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) est strictement positive, on en déduit que la fonction ln est strictement croissante.

On démontre aisément ses propriétés algébriques en remarquant que la fonction f définie par f(x) = ln(ax) a même dérivée que ln, donc diffère de la fonction ln d'une constante

f(x) = ln(x) + k

Or f(1) = ln(a) donc k = ln(a) et ln(ax) = ln(a) + ln(x) pour tous réels a et x strictement positifs. La fonction ln est donc bien un cas particulier de fonction logarithme.

C'est la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de la fonction exp - quand celle-ci est définie comme l'unique fonction valant 1 en 0 et égale à sa dérivée. En effet, il suffit de dériver les fonctions \ln \circ \exp et \exp \circ \ln, de prouver que ces dérivés valent 1. Cela permet de dire que ces deux fonctions sont de la forme x + k. L'étude de l'image de 0 ou de l'image de 1 permet de prouver que ces deux fonctions sont des fonctions identités sur \R pour la première, sur ]0 ; + \infty[ pour la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...).

Dérivée logarithmique

  • Voir article détaillé : dérivation logarithmique

Les propriétés de dérivabilité des fonctions composées permettent de dire que, pour toute fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) dérivable strictement positive, la fonction ln(u) est dérivable de dérivée \frac{u'}{u}. Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur.

On généralise la propriété à toute fonction dérivable u qui ne s'annule pas : ln( | u | ) est dérivable de dérivée \frac{u'}{u}. Cette propriété augmente de manière significative l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des fonctions rationnelles dont on peut trouver une primitive.

Étude des limites

La fonction logarithme est une fonction tendant vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...) en 0 et en + \infty mais ceci très faiblement. Plus précisément, les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées de la fonction ln et d'une fonction puissance quelconque

  • \lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty
  • \lim_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty
  • \lim_{x \to 0} x^{\alpha}\ln(x) = 0 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel α strictement positif
  • \lim_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0 pour tout réel α strictement positif
  • \lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}{h} = 1 pour h>-1. Ceci est une conséquence de l'"Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...) affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :)" de ln(1 + h) pour h proche de 0.

Développement en série

C'est Nicolaus Mercator qui le premier propose le développement en série entière de ln(1 + x) ; le rayon de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de ce développement est 1.

\ln(1 + x) = \sum_{n = 0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \cdots

Fonction ln comme fonction logarithme

Comme toute fonction logarithme, elle possède les propriétés algébriques suivantes

  • \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \quad \forall (a;b)\in\, ]0 : + \infty[^2
  • \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b) \quad \forall (a;b)\in\, ]0 : + \infty[^2
  • \ln(a^n) = n \ln(a) \quad \forall a \in\, ]0 ; + \infty[, \forall n \in \mathbb Z
  • \ln(a^r) = r \ln(a) \quad \forall a \in\, ]0 ; + \infty[, \forall r \in \mathbb Q

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir le logarithme de base a en fonction du logarithme népérien:

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

(pour toutes les propriétés voir : identités logarithmiques)

Fonction ln comme réciproque de la fonction exp

Des égalités

\forall x\in\mathbb{R}^\star_+,\, e^{\ln(x)} = x

et

\forall x\in\mathbb{R},\, \ln(e^x) = x.

on déduit l'équivalence suivante:

e^x = y \Leftrightarrow x = \ln(y) , pour tout réel x et tour réel y positif.

qui permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant (Exposant peut signifier:).

Sa relation avec la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un...) permet d'exprimer toutes les autres fonctions exponentielles de base a (a réel positif) par

a^x = e^{x \ln(a)}\,.

Plus généralement , elle permet de définir xy pour tout réel x strictement positif et tout réel y comme

x^y = e^{y\ln(x)}\,

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) coïncide évidemment avec celle de xr pour r rationnel.

Fonction ln comme fonction de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) complexe

  • Voir article détaillé : logarithme complexe

La question de savoir s'il est possible de prolonger la fonction ln (c'est-à-dire de la définir sur un ensemble plus grand que ]0 ; + \infty[\;) s'est posée dès la seconde moitié du XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) avec les développements en série des fonctions. Le passage de

e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} (pour tout x réel)

à

e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} (pour tout z complexe)

s'est fait de manière naturelle et l'on se serait attendu à ce qu'un passage analogue se fasse pour la fonction ln. Mais il n'existe aucune fonction univoque continue sur \mathbb C^*, possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur ]0 , + \infty[ avec la fonction logarithme népérien réelle.

L'existence de plusieurs valeurs possibles pour ln(-1), par exemple, a donné lieu à des échanges de lettres passionnés entre Leibniz et Bernoulli. Le voile sera levé par Euler.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) négatif de la manière suivante

ln( − a) = ln(a) + iπ pour a réel strictement positif

en référence au fait que

ln( − a) = ln(eiπa)

et par transfert de propriété

ln( − a) = ln(a) + iπ

Mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice (Une calculatrice, ou calculette, est une machine conçue pour effectuer des calculs. D'abord mécanique, la machine à calculer est devenue électronique dans les années 1960, avec l'introduction de la...) traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction x \mapsto |\ln(x)| , la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur \R^* en interprétant la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) comme un module :

|\ln(-a)| = \sqrt{\ln^2(a) + \pi^2} pour a réel strictement positif
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