Nilpotent
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En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que x^n = 0\,.

Exemples

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}

est nilpotente parce que A^3 = 0\,.

Dans l'anneau ?/9?, la classe de 3 est nilpotente parce que 3^2\, est congru à 0 modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo...) 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

Propriétés

Aucun élément nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .) ne peut être une unité (excepté dans l'anneau trivial {0} qui possède seulement un élément unique 0 = 1). Tous les éléments nilpotents différents de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes...) est T^n\,, ce qui est le cas si et seulement si A^n = 0\,.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers....), qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 - x est une unité, parce que x^n = 0\, entraîne

(1 - x) (1 + x + x^2 + \ldots + x^{n - 1}) = 1 - x^n = 1\,.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...)

Un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) Q\, qui satisfait à Q^2=0\, est nilpotent. La charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu...) BRST est un exemple important en physique.

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