Axiomes des probabilités
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Commençons par donner une définition simple d'une probabilité. Considérons une expérience aléatoire \mathcal E (ou épreuve aléatoire), et \ \Omega l'univers associée à cette expérience (ensemble de tous les résultats possibles).

Une probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...) \ P est une application qui, à un évènement \ A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E, associe un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel (noté \ P(A)), de telle manière que \ P satisfasse les axiomes de Kolmogorov :

Premier axiome

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) évènement \ A :

0 \leq P(A) \leq 1.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

\ P(\Omega) = 1.

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A_1,\, A_2, \dots satisfait:

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à...) (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Ces trois axiomes sont connus comme étant les axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) russe qui les a développés.

D'une manière plus théorique, une probabilité peut être définie comme une mesure sur une σ-algèbre ou tribu \mathcal B de sous-ensembles d'un univers \ \Omega (ces sous-ensembles étant les évènements), telle que la mesure de l'univers soit égale à 1.

Cette propriété est importante, puisqu'elle nous amène naturellement au concept de probabilité conditionnelle (La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur...). Tout évènement \ A de probabilité non nulle définit une autre probabilité \ P_A sur l'univers :

pour tout évènement \ B de \mathcal B, on pose : P_A(B) = {P(B \cap A) \over P(A)}.

Le réel \ P_A(B) se note aussi \ P(B | A) et habituellement \ P(B | A) se lit " la probabilité conditionnelle de \ B, sachant \ A " ou " la probabilité de \ B, sachant que \ A s'est réalisé ".

Propriétés d'une probabilité

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

  • P(\emptyset)=0.
  • si \ A, \ B sont deux évènements incompatibles, alors P(A \cup B) = P(A) + P(B).
  • pour tous évènements \ A, \ B, P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements \ A ou \ B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que \ A se réalise, et pour que \ B se réalise, moins la probabilité pour que \ A et \ B se réalisent simultanément.
  • pour tout évènement \ A, P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A).
Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ;
cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement.
  • P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B); en particulier, si A \subset B, alors P(B \setminus A) = P(B) - P(A)
(il en résulte que si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) : c'est la propriété de croissance de la probabilité).
La relation précédente signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence P(B) - P(A \cap B).
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