Conjecture de Mertens
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En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi:

\mu(k)\, étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

\left| M(n) \right| < \sqrt { n }

Stieltjes prétendit en 1885 que \frac{M(n)}{\sqrt { n }} était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être -1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1887 affirmant, calcul de M(10^4) à l'appui, que l'égalité \left| M(n) \right| < \sqrt { n } lui semblait très probable pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n>1.

Or toute inégalité de la forme \left| M(n) \right| < c \sqrt { n }, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann (L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la...).

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à

M(x) = O(x^{1/2+\epsilon}) \,

pour tout

ε > 0

On démontre le lien avec l'hypothèse de Riemann ainsi:

\frac{1}{\zeta(z)} = z \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{z+1}} dx

\zeta(z)\, est la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann. La conjecture de Mertens (En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi:) indiquait que cette intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur...) converge pour Re(z) > 1/2, qui dans un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) impliquerait que \frac{1}{\zeta(z)} est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros de \zeta(z)\, vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Te Riele et Odlyzko ont démontré que la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Mertens était fausse. Plus précisément, ils ont démontré que \frac{M(n)}{\sqrt { n }} a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à -1,009. Ils ont également montré qu'il existe au moins un entier inférieur à 3.21×1064 réfutant la conjecture.

On ignore toujours si \frac{M(n)}{\sqrt { n }} est bornée, mais Te Riele et Odlizko considèrent qu'il est probable que non.

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