Arbre de probabilité
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En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité (En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles) est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles

Exemple

On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :

On lance un dé
  • Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges
  • Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.

La première étape permet de définir un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires

  • U1 = " le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 "
  • U2 = " le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 "

On a donc U1 = { 3 ; 6 } et p(U1) = 1/3 puis p(U2) = 2/3.

Pour étudier la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc...) étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.

  • Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω1={N ; B ; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
    • p(N) = 3/10
    • p(B) = 4/10
    • p(R) = 3/10.
Il s'agit en réalité du transfert à Ω1 d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.
  • De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω2={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.

L'expérience se résume alors dans l'arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres acquièrent une structure rigide composée d'un tronc qui peut...) suivant:

La lecture des probabilités se fait alors aisément:

  • Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :
p(U1\cap N)=1/3 \times 3/10 = 1/10
  • Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire  :
p(U2\cap N)=2/3 \times 3/5= 2/5

La probabilité de tirer une boule noire est alors :

p(N) = p(U1\cap N)+ p(U2\cap N)=1/2

Définitions et propriétés

Un arbre de probabilité est un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes

  • La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1.
  • La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
  • La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle (La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la...) de B sachant que A est déjà réalisé pA(B).

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

p(A \cap B)=p(A)\times p_A(B) (produit des chemins).

Ainsi que la formule des probabilités totales:

si Ω1, Ω2, ..., Ωn définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les Ωi sont de probabilité non nul, et si A est un évènement de Ω,
p(A) = \sum_{i=1}^np(A\cap \Omega_i) = \sum_{i=1}^np(\Omega_i) \times p_{\Omega_i}(A)

Que l'on a exploitée dans l'exemple pour calculer p(N)

p(N) = p(U1)\times p_{U1}(N)+p(U2)\times p_{U2}(N)
p(N) = 1/3 \times 3/10+ 2/3 \times 3/5 = 1/2

L'arbre de probabilité facilite aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Bayes :

p_{B}(A) = \frac{p_{A}(B).p(A) }{p(B)}

Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : " Sachant que l'on a tiré une noire, quelle est la probabilité que l'on ait tiré dans l'urne 1? "

p_{N}(U1) = \frac{p_{U1}(N).p(U1) }{p(N)} = \frac{1/10}{1/10+2/5}=1/5
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