Fonction du second degré
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En mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée...), une fonction du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est une fonction définie sur \R par : f(x) = ax^2 + bx + c\,a, b et c sont des réels (a non nul) appelés les coefficients.

ax2 est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Les fonctions du second degré ou trinômes du second degré constituent le deuxième champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'étude des fonctions polynômes.

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui permet de mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + f\left(\frac{-b}{2a}\right)

Exemple : si f(x) = 2x ^2 + 4x - 5\,, on remarque que \frac{-b}{2a} = -1 et que f(-1) = -7\, donc f(x) = 2(x + 1)^2 - 7\,

Discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont...): Il est fréquent que la forme canonique soit donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) plus explicitement : le calcul de f\left(\frac{-b}{2a}\right) donne \frac{4ac - b^2}{4a}. on pose alors :

Discriminant = \Delta = b^2 - 4ac\,

Et on obtient :

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}

De cette forme canonique se déduisent tous les résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

On dit que r est une racine de f si f(r) = 0.

On démontre que

  • si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
  • si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est r_0 = \frac{-b}{2a}
  • si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans \R

Voir article détaillé : Équation du second degré

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que f(x) = ax^2 + bx + c\,.
Si a+b+c=0\, alors f\, admet au moins une racine évidente égale à 1\,.

Opérations sur les racines

On note S\, la somme des racines, et P\, le produit des racines d'un polynome du second degré. On peut ainsi écrire:

S=\frac{-b}{a}\,

P=\frac{c}{a}\,

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

  • si \Delta > 0\, alors f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,
  • si \Delta = 0\, alors f(x) = a(x - r_0)^2\,

Étude de signe

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) permet de construire le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de signe de f(x)\,. En réalité, il existe 6 cas de figure selon que a\, est positif ou négatif et selon que f\,. possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : "Le signe de trinôme coincide avec celui de a\,. sauf entre les racines"

  • Voir article détaillé: Inéquation du second degré

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction f\, permet de remarquer que sa courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) représentative est l'image de la courbe d'équation y = ax^2\, par une translation de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) \vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)\,.

La courbe représentative est donc toujours une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés...). Son sommet est le point (Graphie) S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)\, et son axe de symétrie est la droite d'équation x = \frac{-b}{2a}\,.

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de a\, et celui de Δ. On rappelle que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,

Sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de f\,:

  • Si a > 0\,, la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum en - b/2a\, ;
  • Si a < 0\, , la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en - b/2a\,

Ce résultat est confirmé, si on le souhaite, par le calcul de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément,...) de f\, qui est f'(x) = 2ax + b\,.

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