Théorème intégral de Cauchy
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En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe " entre " les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) est habituellement formulé pour les chemins fermés de la manière suivante : soit U un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du...) ouvert de \mathbb C qui est simplement connexe, soit f:U\rightarrow \mathbb C une fonction holomorphe, et soit γ un chemin rectifiable dans U dont le point (Graphie) de départ est confondu avec le point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet), alors :

\int_\gamma f(z) dz = 0 \,

Comme cela a été montré par Goursat, le théorème intégral de Cauchy (En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux...) peut être démontré en supposant seulement que la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) complexe de f existe en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point de U. Ceci est très intéressant, parce que nous pouvons alors démontrer la formule intégrale de Cauchy (La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les...) pour ces fonctions, et de cela nous pouvons déduire que ces fonctions sont en fait indéfiniment continûment dérivables.

La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de " trou " ; par exemple, tout disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) ouvert U = \{ z, \mid z - z_0 \mid < r \} \, satisfait à cette condition. La condition est cruciale; par exemple, si γ est le chemin défini par :

\gamma(t) = \exp( 2\pi it)\,

où exp est la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe...), qui décrit le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon...) unité, alors l'intégrale sur ce chemin

\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 2\pi i

est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f(z) = 1/z n'est pas défini (et donc f n'est certainement pas holomorphe) en z = 0.

Une conséquence importante du théorème est que l'intégrale curviligne de fonctions holomorphes sur des domaines simplement connexes peut être calculée d'une manière familière à partir du théorème fondamental du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et intégral : soit U un ouvert simplement connexe de \mathbb C, soit f:U\rightarrow \mathbb C une fonction holomorphe, et soit γ un chemin continûment différentiable dans U dont le point de départ est a et le point d'arrivée b. Si F est une primitive complexe de f, alors

\int_\gamma f(z) dz = F(b) - F(a)\,

Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme légèrement plus forte que celle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) ci-dessus. Supposons que U soit un ouvert simplement connexe de \mathbb C dont la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques. Entre les pays...) est l'image du chemin rectifiable γ. Si f est une fonction qui est holomorphe sur U et continue sur l'adhérence de U, alors

\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 0\,

Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé par le théorème des résidus.

Surfaces de Riemann

Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) des surfaces de Riemann.

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