Formule intégrale de Cauchy
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La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant ce point (Graphie). Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Expression

Supposons que U soit un ouvert connexe du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) \mathbb C, que f:U\rightarrow \mathbb C soit une fonction holomorphe sur U. Soit γ un chemin fermé inclus dans U, soit enfin z n'appartenant pas à ce chemin. On a alors la formule suivante:

f(z)\cdot Ind_\gamma (z) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over \xi-z}\, d\xi

Cette formule est particulièrement utile dans le cas où γ est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) C orienté positivement, contenant z et inclus dans U: on peut alors écrire:

f(z) = {1 \over 2\pi i} \int_C {f(\xi) \over \xi-z}\, d\xi

Principale conséquence

Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit a\in U, r > 0 tel queD(a,r)\subset U.

Soit z\in D(a,r), et γ le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par \theta\in[0,2\pi].

On a pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) \theta\in[0,2\pi] : \left|\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}\right|<\frac{|z-a|}{r}<1,
ce qui prouve la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet...) sur [0,2π] de la série de terme général \frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}} vers

\frac{1}{\gamma(\theta)-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}}=\frac{1}{\gamma(\theta)-z},

et comme f\circ \gamma est continue sur [0,2π] compact, donc bornée, on a convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) uniforme de la série

\sum_{n=0}^\infty f(\gamma(\theta))\cdot\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}} sur [0,2π],
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes sommes: on a ainsi pour tout z dans D(a,r):

f(z) = \sum _{n=0}^\infty c_n(z-a)^n avec c_n= {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi

et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale (On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe un voisinage de ce point sur lequel la...), on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que tout fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.

On remarque aussi que, en donnant une expression aux coefficients du développement de f, cette formule explicite les dérivées n-ièmes de f en a:

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi.

Démonstration de la formule

La preuve de cette formule est assez simple: pour la montrer en un z0 donné il suffit d'appliquer le théorème intégral de Cauchy (En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux...) à la fonction g ainsi définie : g(z)=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, & \text{si }z\neq z_0 \\ f'(z_0), & \text{si }z=z_0 \end{cases} et de développer le résultat obtenu.

Autres conséquences

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le principe du maximum et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des résidus.

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