Construction des entiers naturels
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Il existe plusieurs méthodes classiques de construction des entiers naturels mais celle des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple.

Méthode de von Neuman

Partant de la théorie des ensembles, on identifie 0 à l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), puis on construit le successeur d'un entier naturel comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des entiers naturels qui le précèdent. Plus précisément, les entiers naturels sont construits à partir des règles suivantes :

  1. L'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) \emptyset est un entier naturel noté 0.
  2. Si N est un entier naturel, l'ensemble N U {N} est aussi un entier naturel, appelé le successeur immédiat de N.
  3. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel est construit à partir des règles 1 et 2.

Par exemple, le successeur immédiat de 0 est : 0 U {0} = {0} = 1

Celui de 1: 1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2

Celui de 2: 2 U {2} = {0,1} U {2} = {0,1,2} = 3

L'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui...) de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...) est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels. On peut vérifier que ce dernier satisfait les axiomes de Peano (Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique [1].).

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