Pendule elliptique
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Soit un pendule pesant composé dont le point de suspension H est libre de glisser sur un axe horizontal sans frottement. La théorie du pendule pesant composé permet de ramener le problème à une haltère avec une masse m en H et une autre masse M en C, centre de percussion (En mécanique du solide, le centre de percussion relativement au point O où est appliqué la percussion le point O' situé sur la droite OG ( G centre de masse), à une distance OO' = l (dite longueur du pendule simple synchrone...) relatif à H : un tel pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules,...) s'appelle pendule elliptique (Soit un pendule pesant composé dont le point de suspension H est libre de glisser sur un axe horizontal sans frottement. La théorie du pendule pesant composé permet de ramener le problème à une haltère avec une masse m en...) .

Il y a, a priori, deux degrés de liberté : OH = x(t) et l'élongation de C, θ(t) ; mais comme il n'y a aucune force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) externe horizontale, m .x(t) + M.l.sinθ(t) = 0 (l := HC) en se plaçant dans le référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est...) adéquat: le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) G du système décrit alors la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) selon le mouvement z= -a.cosθ(t).

Le point (Graphie) G décrit une verticale, le point H une horizontale, le point C fixe sur cette barre rigide décrit une portion d'ellipse (théorème dit de la bande de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de...) de la Hire): d'où le nom : pendule elliptique.

Petites oscillations

On sait que le problème complet du pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le...) est délicat.

Ici, ne sera traité que le problème des petites oscillations.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) du moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) appliqué en H dans le référentiel R(H origine), à la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse grave)....) située en C donne :

Ml^2\ddot{\theta} = -Mgl \theta +Ml \ddot{x},

soit compte-tenu de la relation m.x + M.l.θ =0,

 
 d'où la période T = 2\pi \sqrt(\frac{l(M+m)}{gm}) 
 

Remarque: ce problème est usuellement résolu par la méthode des équations de Lagrange, puisqu'il n'y a pas de frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.); on retrouve bien sûr les résultats précédents.

Calcul des réactions, cas général

Si les oscillations ne sont pas petites, appliquer le théorème de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son...) donne :

(\dot{\theta})^2 = f(\theta) = \frac{2g(M+m)(h+cos\theta)}{l(M sin^2\theta + m)}

donc \ddot{\theta} = 2 \frac{df}{d\theta} = g

On en tire aisément :

N = mg + T cosθ

avec T tension (La tension est une force d'extension.) de la barre :

T = Ml.f +ml/2.g.tanθ +Mg/cosθ

Bien sûr, selon la valeur des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) initiales , reflétées par la valeur de h , il y aura comme pour le pendule simple , oscillattions ou tournoiement.

La quadrature donnant θ(t)n'est clairement pas facile.

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