Barycentre - Définition

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Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

  • en statistiques à la notion de moyenne (ou espérance),
  • en physique (cinématique, mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) du point) à la notion de centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...) (ou centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...)) ou de centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de...),
  • et en mécanique du solide à la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique),
  • en analyse spatiale au point (Graphie) moyen ou point central.

On utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.

Un peu d'histoire

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

Le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble...) de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...). C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) le centre de gravité) est le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) et physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...). Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...):

" Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) le poids du corps peut être considéré comme concentré. " 

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m_1\cdot OA et m_2\cdot OB soient égaux. Si par exemple la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle

m_1\cdot\overrightarrow{OA}+  m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0

C'est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des chocs : même s'il sait que P = P0, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse (On distingue :) constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...). C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

" Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. " 

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Autres champs d'application

Le barycentre, créé dans le cadre de la physique et de la mécanique, s'est vite révélé très utile dans bien d'autres domaines.

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), il permet de repérer des points par rapport à d'autres points : ce sont les coordonnées barycentriques. C'est l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) privilégié pour démontrer des alignements et des concours. On peut dire que la géométrie vectorielle (Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.) est la géométrie des vecteurs et des combinaisons linéaires alors que la géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement...) est celle des points et des barycentres.

En statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...), il permet le calcul et la représentation des moyennes pondérées. En probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...), on le retrouve dans l'espérance mathématique (L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en...).

En logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une...), c'est un outil puissant de décision.

En chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à...), il permet de calculer la polarité d'une molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui...).

Développement mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G (Le point de Gräfenberg ou zone de Gräfenberg, communément appelé le...) tel que

a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0.

Les coordonnées de G sont alors

x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de points peut passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses ai est non nulle, le barycentre du système \left \{(A_i,a_i)\right \}_{i\in\{1; n\}} est le point G tel que

\sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec 0.

Les coordonnées sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) par les formules, pour j variant de 1 à la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) de l'espace

x_{j,G} = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_{j,A_i} }{\sum_{i = 1}^n a_i }

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :).

Le nombre de points peut même devenir infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), permettant de trouver le barycentre d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) ou d'une surface.

Si l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) g(M)g est une fonction continue (un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que

\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dv = \vec 0 dans l'espace ou \int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm ds = \vec 0 dans le plan .

Si les points M ont pour coordonnées (x1;x2,x3) la fonction de densité s'écrit g(x1,x2,x3) et les coordonnées de G s'écrivent

x_{j,G} = \frac{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_j~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3}{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3)~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3},\quad j \in \{1,2,3\}

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) pondérée :

x_G = \frac{\int g(x)\cdot  x~\mathrm dx}{\int g(x)~\mathrm dx}

Développements physiques

Centre d'inertie

En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.

Dans le cas d'un corps continu \mathcal{C}, on emploie comme fonction de pondération la masse volumique ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

\overrightarrow{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)\overrightarrow{OM}~\mathrm dV}{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)~\mathrm dV} ou \int_{\mathcal{C}} \rho(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm  dV=0

Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.

Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle...) comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) près) avant, pendant et après l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un...). Attention : ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique (La balistique est la science qui a pour objet l'étude du mouvement des projectiles.) ou un astéroïde (Un astéroïde est un objet céleste dont les dimensions varient de quelques dizaines...), précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.

Centre de gravité

Le centre de gravité d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.

la position du centre de gravité Gg est défini par la relation suivante (\vec{g}(M) étant le champ de gravité au point M):

\int_{\mathcal{C}} \overrightarrow{G_gM} \wedge \rho(M)\vec{g}(M)~\mathrm dV=\vec{0}

Il est à noter que le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. Il n'existe pas forcément !

Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...), on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

Astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...)

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.
Animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images...) impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire (Stellaria est un genre de plantes herbacées annuelles ou vivaces, les stellaires, de la...) possédant un satellite (Satellite peut faire référence à :). Le barycentre est le point autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) duquel l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) secondaire gravite. Si la plupart des couples connus possède leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions notables :

  • Le cas du couple Pluton/Charon : la différence de masse entre ces deux corps est relativement faible, le barycentre se trouve donc à l'extérieur de Pluton (Pluton, dont la désignation officielle est (134340) Pluton, est la deuxième plus grande planète...). Pour certains astronomes, plutot que de parler de planètes et de satellites, il conviendrait dans ce cas précis de retenir la notion de " planète double ".
  • Plusieurs astéroïdes reproduisent le cas de figure ci-dessus.
  • Le barycentre du couple Jupiter/Soleil se trouve à l'extérieur de ce dernier à environ un rayon solaire (En astrophysique, le rayon solaire est l'unité de longueur conventionnellement utilisée pour...) de distance.
  • On retrouve aussi cette particularité chez certaines étoiles doubles
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