Caractère d'une représentation d'un groupe fini - Définition

Exemple

Les caractères d'un groupe sont parfois donnés sous forme de table. Comme un caractère est constant sur une classe de conjugaison, la table est ainsi donné sur les classes de conjugaison. Celle du groupe alterné de degré 4 est par exemple :

Un élément du type (ab)(cd) possède son inverse dans la même classe de conjugaison, la valeur du caractère est toujours réelle pour cette classe. En revanche, l'inverse de (abc) est (acb), les deux valeurs sont toujours conjuguées. Cette table est calculée dans l'article groupe alterné.

Extension

Produit direct et produit tensoriel

En théorie des groupes, la première méthode d'extension est donnée par le produit direct de deux groupes. En termes de représentation, cette extension se traduit par un produit tensoriel de deux représentations de deux groupes.

La relation entre une somme directe de représentations et ses caractères est donnée par la proposition suivante :

• Le caractère de la somme directe de deux représentations (V, ρ) et (V',ρ') d'un groupe G est la somme des caractères des deux représentations.

En effet, si s est un élément de G, R_s et R_s' les matrices de ρ_s et ρ'_s dans des bases B et B' ,alors la réunion des deux bases est une base de V V'. Dans cette base, la matrice S_s de ρ ρ'_s prend la forme :

L'égalité sur les caractères, vu comme trace des matrices est alors évidente.

Cette proposition se généralise par récurrence au cas d'une somme directe d'un nombre fini de représentations.

Une relation analogue existe pour le produit tensoriel de représentations :

• Le caractère du produit tensoriel de deux représentations (V, ρ) et (V',ρ') d'un groupe G est le produit des caractères des deux représentations.

En utilisant les notations précédentes et si (r_ij) (resp. (r'_i'j') est la matrice R_s (resp. R_s') la matrice P_s du produit tensoriel associée est égal à (p_{ij i'j'}) avec p_{ij i'j'} = r_ij.r'_i'j'. Un simple calcul de trace permet de conclure.

• Si χ_σ (resp. χ_α) désigne le caractère de la représentation du carré symétrique (resp. alterné), alors les deux formules suivantes s'appliquent :

Les définitions des représentations du carré symétrique et alterné sont données dans l'article détaillé.

Produit semi-direct et représentation induite

Une représentation induite est un mode de construction d'une représentation d'un groupe G à l'aide d'un de ses sous-groupes H. Soit (W, θ) une représentation de H, une représentation (V, ρ) est dite induite par celle de (W, θ) si et seulement si les différents sous-espaces ρ_cW où les valeurs de c forment un système de représentants des classes à gauche de G/H, sont, en somme directe, égale à V.

Il existe une unique représentation induite de G par une représentation (W, θ) d'un sous-groupe H. En termes de G-module, la représentation induite s'exprime simplement :

La représentation induite correspond, en termes de G-module à une extension des scalaires K[H] à l'anneau K[G] sur le H-module W.

Dans le cas où H est un sous-groupe normal de G, la représentation induite est équivalente à un produit semi-direct.

Il existe un méthode simple pour calculer le produit hermitien du caractère d'une représentation induite : la formule de réciprocité de Frobenius Si ψ désigne le caractère de la représentation θ de H et χ celui d'une représentation de G, si Ind ψ désigne le caractère d'une représentation induite et Res χ le caractère de la restriction de ρ à H, alors :