Chute avec résistance de l'air - Définition
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Compléments
En France, les scolaires de 17-18 ans étudient tout cela en Travaux Pratiques; les calculs précédents sont réservés aux meilleurs d'entre eux.
Les considérations qui suivent sont d'un niveau plus élevé.
- Au niveau du TP, les élèves peuvent être engagés à tracer la courbe, dite plan de phase généralisé (x |→ v²(x) ): les logiciels sont tout à fait adaptés à la recherche de la meilleure courbe A(1- exp(-x/x0).
La pente à l'origine leur donne une valeur approchée de g. La méthode v²(k+1) = f( v²(k)) leur donne V0². La méthode E(x) = f(x²) permet de corroborer ces valeurs.
Dans l'article chute libre, il est proposé la méthode classique de la dérivée seconde discrète portée comme fonction de v², ce qui donne, pour des valeurs assez proches, g-R/m.
Ce qui emporte la conviction est de voir deux courbes bien différentes sur un espace de 2 mètres : ce qui amène en gros à une masse volumique de la boule de l'ordre de 10 a : un ballon rempli de SF6 sous 1 bar permettrait sans doute une bonne comparaison (il faudra décompter la poussée d'Archimède bien sûr). En faisant varier la pression, on obtiendrait un réseau de courbes instructives.
- Au niveau théorique, le problème reste incomplet : en réalité, il faut toujours vérifier que :
x(t+t0, 0, 0) = x(t, x(t0), v(t0)), comme pour toute équation déterministe. Les calculs sont faisables mais longs et fastidieux.
Et Galilée ?
Galilée a-t-il fait l'expérience ? Celle de la tour de Pise ? Koyré le nie. Il argumente sans nul doute avec raison. Bellone, sans contredire Koyré, indique que Galilée avait déjà compris que la résistance était proportionnelle à la masse volumique de l'air (voire de l'eau) et au maître-couple de l'objet, et un coefficient Cx. C'est sans doute aller un peu loin ? Fonction de ces paramètres, OUI, proportionnelle à V², sans doute que non. Il sait que la loi v= gt est fausse aux grandes valeurs. Mersenne l'a confirmé. Pour aller au-delà, il lui aurait fallu trouver v(x). Torricelli y est presque en 1644 : il sait que v(x) croît moins vite que \sqrt(x). Au-delà ? En réalité, le siècle n'est pas mûr pour cela : Galilée ne manipule pas encore des quantités avec unités : tout est rapporté à des distances, comme du temps des grecs. Et c'est seulement vers 1700 que tous ces calculs seront faits ( en particulier par Bernoulli).
Le mouvement violent
On appelle mouvement violent, le mouvement de la boule lancée avec une vitesse v(t0) non nulle, ici selon la verticale.
Il n'est pas inintéressant de comparer les deux mouvements ( par exemple en considérant que le choc au sol est élastique).
L'équation différentielle s'intègre : dv/dt = -g( 1+v²/Vo²) donne :
- Arctan(v/Vo)= -gt + Arctan (v(0)/Vo) et
- v²(x) = -gH + [v(o)² + gH ] exp-2x/H
Ce qui permet de comparer:
- t(descente)= T Argtanh ( v(0)/Vo ), d'où
- t(montée) = -i.T Arctanh ( iv(0)/V0 )= T. arctan(tanh t(descente)/T),
soit un rapport 2.908/3.204.
et
- h(descente):= z0 = H Ln γ
- h(montée) = H Ln sqrt(1+v(0)²/V0²)
soit h(montée) = H/2 Ln (2- exp(-2z0/H))= 43,3 m au lieu de 50 m, soit 15% de réduction (mais elle dépend de z0 !) et dans le second cas h(montée) = 13,0 m : la réduction est spectaculaire!
On l'aura compris : tout dépend du rapport de z0 à H/2.
