Diagramme horaire - Définition
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Mouvement de Kepler selon Leibniz
C'est un cas très célèbre de mouvement dans un puits de potentiel.
Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique (à l'époque, on disait équation des forces vives) :
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Il s'agit donc du mouvement dans un puits de potentiel U(r), si Eo est négative.
Les limites de ce puits s'appellent SP = r minimum = distance périgée et SA = r maximum = distance apogée, racines de l'équation U(r) = Eo.
Soit Lo²/2m (1/r)² - mgR² (1/r) - Eo = 0 , équation du second degré en 1/r :
Leibniz remarqua immédiatement que la demi-somme 1/2(1/SA +1/SP), appelée moyenne harmonique et égale à 1/p est indépendante de Eo (règle 1 de Leibniz), et que la somme (SA +SP) = 2a était indépendante de Lo (règle 2 de Leibniz) : cf mouvement keplerien.
L'équation réécrite avec 2a et p devient :
U(r)/m - Eo/m = Lo²/2m² (1/r² - 2/pr + 1/pa) = -1/2 (dr/dt)².
L'"astuce" usuelle dans ce genre de problème est de considérer la variable phi telle que r= a -c.cosφ , phi variant de 0 à Pi en passant du périgée à l'apogée. Alors l'intégration est beaucoup plus facile, et donne la célèbre équation du temps de Kepler (voir mouvement keplerien:
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En exprimant la fonction réciproque, on obtient phi(t) et donc r(t). (cf mouvement keplerien). Ici ω représente la pulsation du mouvement périodique dans le puits. On retrouve la troisième loi de Kepler :
L'équation donnant l'angle polaire se trouve via l'intégration de la deuxième loi de Kepler :
