Mouvement keplerien - Définition et Explications

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Introduction

En astronomie, le mouvement keplerien basé sur les trois lois de Kepler ne donne que peu d'indications sur le mouvement des planètes. Cet article se veut un approfondissement complémentaire.

Quelques éléments de base

Données culturelles

Les connaissances astronomiques du monde (Le mot monde peut désigner :) gréco-romain sont résumées par Ptolémée (Claudius Ptolemaeus (en grec : Κλαύδιος...) (+ 200 JC), transmises et améliorées par l'Empire byzantin sous le nom de « Trismegistie » (le livre du Maître), par l'Empire arabe sous le nom de l'Almageste (L'Almageste (qui est l'arabisation du grec ancien megistos (byblos) signifiant grand (livre)) est...).

Copernic (1543) fait publier le « système héliocentrique » à sa mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si...).

Kepler (1571-1630), grâce à l'analyse soigneuse des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) précises de son maître Tycho Brahe (Tycho Brahe (Tyge Ottesen Brahe), dit Le noble Danois ou L’homme au nez d’or...) (1541-1601), publie ses trois célèbres lois (Cf. Lois de Kepler) en 1609, 1611, 1618. (Comme 1618 marque le début de la Guerre de Trente Ans, le reste de sa vie (La vie est le nom donné :) sera troublé).

Newton (1642-1727), certainement le scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) le plus connu avec Einstein, démontre ces lois en 1687 (Cf. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ; Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) des lois de Kepler) : c'est le début d'une nouvelle ère : la mécanique céleste (La mécanique céleste est un terme qui désigne la description du mouvement d'objets...) et la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique fondées sur le Calculus (Cf. Principia et Calculus).

Newton y ose (Les oses (ou monosaccharides) sont les monomères des glucides. Ils ne sont pas hydrolysables....) braver un interdit : la notion d'action instantanée à distance ; la gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction...) agit instantanément en 1/r². C'est le célèbre « hypotheses non fingo ». La « résistance cartésienne », plus la très grande difficulté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) des Principia provoquera un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) de réception assez long de son oeuvre, et il faudra attendre les ouvrages d'Euler, de McLaurin et de Clairaut, pour éclaircir la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...). Néanmoins les plus grands esprits de l'époque (Huygens, Leibniz, etc ...) reconnaissent immédiatement la portée des Principia.

La constante de Gravitation sera évaluée par Cavendish en 1785 : G = 6.67 10-11 N.m²/kg². (Il y a une très grande différence expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes...) entre trouver GM, ce qui est facile, et tester la loi de Newton en mesurant G : cela est encore l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) de recherches de nos jours (2007)).

Masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) inerte (Inerte est l'état de faire peu ou rien.) et masse grave sont confondues, ce qui explique la loi de Galilée : indépendance dans la chute libre du corps pesant & inerte : fer (Le fer est un élément chimique, de symbole Fe et de numéro atomique 26. C'est le...) ou plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de...) tombent (gravitent) de même façon ! Elevée au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) de Principe d'Equivalence par Einstein en 1915, elle sera un des fondements de la Relativité Générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...) qui redonne une loi de Newton « corrigée » : il y a action à distance mais non instantanée (via une « distorsion de l'espace-temps », pour le dire vite ! ). (Les lois d'Einstein sont toujours sur « le grill », surtout depuis les récentes données du satellite (Satellite peut faire référence à :) W-map : énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) noire et matière noire (En astrophysique, la matière noire (ou matière sombre), traduction de l’anglais...) sont l'essentiel de notre Univers ; autant avouer notre mauvaise compréhension actuelle de l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ceci vraisemblablement parce que la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) quantique des équations d'Einstein n'a toujours pas été trouvée, malgré un intense travail théorique).

Données mathématiques de base

La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) de l'ellipse est essentielle dans l'étude du mouvement keplerien (En astronomie, le mouvement keplerien basé sur les trois lois de Kepler ne donne que peu...).

On rappelle que :

  • \scriptstyle p := paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) ou demi-lactus-rectum en latin et
  • \scriptstyle e := excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.)
  • \scriptstyle a := le demi grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de...)
  • \scriptstyle b := le demi petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre...)
  • \scriptstyle{ c = \sqrt{a^2-b^2} } := la distance du foyer au centre.

Voir l'article Ellipse (mathématiques)#Rapport entre les grandeurs pour les relations entre ces grandeurs.

Une ellipse de jardinier (\scriptstyle{ F_1M + F_2M = 2a}) s'écrit en cartésiennes : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

C'est l'affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) d'un cercle : x = a \cdot \cos \phi et y = b \cdot \sin \phi .

En coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...), F étant pris pour origine, et la direction péricentrique comme axe de base : FM := r = \frac{p}{1 + e \cdot \cos{\theta}}.

Donc r augmente quand θ augmente de 0 à π :

  • θ = 0 [r = \frac{p}{1+e} = a-c]
  • \theta = \frac{\pi}{2} [ r = p ]
  • \theta = \frac{\pi}{2} + arctan(\frac{c}{b}) [ r = FB = a ]
  • θ = π [r = FA = \frac{p}{1-e} = a+c]

On pourra consulter l'article (conique, discussion), pour une présentation plus géométrique, centrée sur le problème de Kepler.

Données physiques de base

Le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...) S exerce sur la planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de...) T

la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) centripète - G \cdot \frac{M_s \cdot m \cdot \overrightarrow{OM}}{OM^3}

et donc \frac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2} = -G \cdot \frac{M_s \cdot \overrightarrow{OM}}{OM^3} (m disparaît : loi de Galilée).

La force étant en - \frac{1}{r^2}, l'énergie potentielle par unité de masse est - G \cdot \frac{M_s}{r} (+ 0, convention dite à l'infini).

[Dans le cas des satellites artificiels de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...), on remplace G \cdot M_s -> G \cdot M_T = g \cdot R^2, et l'énergie potentielle massique est - g \cdot \frac{R^2}{r}.

La deuxième vitesse (On distingue :) cosmique est donc V_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot R} = 11,2 km \cdot s^{-1} .

La première vitesse cosmique est V_1 = \sqrt{g \cdot R} = 8 km \cdot s^{-1}, correspondant à une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...) circulaire basse altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau...) de 84 minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un...), soit environ 17 tours en 1 jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...)].

Comme on l'a souligné G \cdot M_s ou G \cdot M_T sont très bien connus ( environ onze chiffres significatifs) mais pas G !

Conséquences de base

Le mouvement est donné une fois TMo et Vo données (6 paramètres) : c'est le Principe Fondamental de la Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) classique. Mais ces deux vecteurs définissent un plan (s'ils ne sont pas colinéaires, ce qui sera supposé dans la suite par souci de simplification). La solution du problème étant unique, le principe de symétrie (dit de Curie) montre que la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) doit être dans ce plan (disons z = 0). Donc en fait le problème, comme dans tous les problèmes dits de champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) central, est à quatre paramètres réels et non six : deux paramètres donnent la trajectoire à une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) près : exemples : (a et b) ou (p et e), etc. Et il en faudra un de plus pour la donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) de l'isométrie (la position du périgée en général) et un de plus pour la date de passage au périgée (ce qui fait bien quatre paramètres).

Convention d'unités

Comme on a vu ( loi de Galilée) que le problème ne dépendait pas de la masse, il est usuel de se référer à une masse unité : parfois on change de lettre, parfois non ( cf analyse dimensionnelle (L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des...) ).

Ainsi le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) se calcule aisément Lo, et C : = Lo/m en m²/s désigne la vitesse aréolaire. Comme on ne peut distinguer la droite de la gauche, donc le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de parcours de la planète, ce sera toujours C² qui interviendra ( en m²(m/s)² ).

De même l'énergie Eo (négative)( en joule) sera notée Eo' = Eo/m ( en vitesse*vitesse soit en (m/s)².

Enfin le paramètre GM est souvent rassemblé en une lettre k (pour dire cste de Gauss ?) en m. (m/s)²

Ainsi, il apparaît immédiatement que le problème reformulé ainsi est un problème uniquement de cinématique, bien que souvent il soit enseigné comme un problème de dynamique : c'est une confusion assez naturelle, mais dans tous les problèmes où la loi de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...) s'applique, la masse disparaît ; tous les corps, pierre ou plume, tombent (dans le vide) de la même façon, aussi contre-intuitif que cela puisse paraître.

Le mouvement keplerien étant périodique, on appelle souvent T la période de révolution (La période de révolution, est le temps mis par un astre pour accomplir sa trajectoire, ou...) et \omega = \frac{2\pi}{T} la pulsation ou cadence en rad/s du mouvement. Si on choisit T comme unité de temps ( cela a été la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) internationale du S.I. de 1951 à 1961), alors k et ω définissent le système d'unités naturel du problème : en particulier, l'unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international....) est souvent nommée a :

\omega^2 \cdot a^3 = GM := k

est la célèbre formule de 1618 que les lycéens apprennent.

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Alors, une fois acquis ces préalables, il est démontré dans l'article Lois de Kepler (En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement...) que la géométrie de l'ellipse est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par :

  • le grand axe 2a : = f(C^2, Eo', k) ne dépend pas de C ! et est donc le monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un...) -k/E'o) *cste (Cf. le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) PI) : cette cste vaut 1 :

2a =  \frac{k}{-E_0'}

(calculable aisément via le cas d'une trajectoire circulaire)

  • le paramètre p, lui, ne dépend pas de Eo et est donc le monôme C²/k * cste : la cste vaut 1 :

 p = \frac {C^2}{k}

(formule calculable aisément aussi via le cas circulaire)

  • le vecteur excentricité e (vecteur de Runge-Lenz) :

\vec e = - \vec u + \frac {\vec v \wedge \vec C}{k}

Il est constant, dirigé vers le périgée et de module e, l'excentricité et donc :

1-e^2= \frac{p}{a}

Les trois lois de Kepler et ces trois formules permettent de comprendre la plupart des problèmes, (en particulier les problèmes de balistique extérieure (Soit un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme et lancé avec une vitesse...) et ceux des satellites artificiels).

Remarque : les valeurs de a et p viennent rapidement de Leibniz (1689) par l'intermédiaire de « son » théorème de l'énergie cinétique :

E_o = \frac {\dot r^2}{2}  + \frac{C^2}{2r^2}- \frac{k}{r}

où le terme \frac{C^{2}}{2r^2} désigne la barrière centrifuge,

ce qui correspond à une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielle de Newton, dite de Leibniz :  \ddot{r} = -\frac{k}{r^2} + \frac{C^2}{r^3}

qui a été étudiée en cinématique (Cf. diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées,...) horaire, mouvement de Leibniz).

L'importance du vecteur excentricité fût soulignée par Hermann (1710 & 1713)), redécouverte par Laplace, puis réutilisée par Runge et Lenz (Cf. vecteur de Runge-Lenz). Elle a fait couler des flots (Flots) d'encre, et continue à le faire.

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