Dualité (géométrie projective) - Définition

Dualité dans un espace projectif de dimension finie

C'est la généralisation de ce que nous venons de voir dans le plan ; en dimension n, non seulement la dualité échange les points et les hyperplans, mais plus généralement les sous-espaces de dimension k avec ceux de dimension n − 1 − k.

Par exemple, en dimension 3, les points sont échangés avec les plans, et les droites avec elles-mêmes. Le théorème dual de : "par deux points distincts" passe une droite et une seule devient : "deux plans distincts se coupent en une droite". Un tétraèdre de sommets ABCD devient par dualité un tétraèdre de faces ABCD ; dans le premier cas, les points A et B déterminent une arête (celle qui passe par A et B, et dans le deuxième aussi (l'intersection de A et B).

Plus précisément le dual E * d'un espace projectif E de dimension n est l'espace dont les sous-espaces de dimension k sont les duaux de ceux de dimension n − 1 − k de E, et une dualité sur E est une bijection de l'ensemble des sous-espaces projectifs de E dans lui-même qui inverse les inclusions et transforme un sous-espace de dimension k en un de dimension n − 1 − k ; dans le cas réel, une dualité provient d'une homographie de E sur E * (d'une semi-homographie dans le cas général).

Tout ce qui a été vu dans le cas plan se généralise ici, en particulier la notion de polarité par rapport à une conique qui devient ici celle de polarité par rapport à une hyperquadrique (non dégénérée).