Ellipse (mathématiques) - Définition
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Rapport entre les grandeurs
Les grandeurs (géométriques ou numériques) d'une ellipse sont
- la longueur du grand rayon (ou demi-grand axe), généralement notée a ;
- la longueur du petit rayon (ou demi-petit axe), généralement notée b ;
- la distance séparant le centre de l'ellipse et un des foyers, généralement notée c ;
- la distance séparant un foyer F de sa directrice (d) associée, généralement noté h ;
- l'excentricité de l'ellipse (strictement comprise entre 0 et 1), généralement notée e ;
- le paramètre de l'ellipse, généralement noté p.
Des relations existent entre ces grandeurs :
- si l'ellipse est définie par son excentricité e et la distance h entre le foyer F et la directrice (d), alors
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- si l'ellipse est donnée par ses rayons a et b
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- enfin, lorsque l'on connait le grand rayon a et l'excentricité e:
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Propriétés géométriques
Éléments de symétrie
L'« axe focal », aussi appelé « grand axe », passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice, est axe de symétrie de l'ellipse; de même pour le petit axe, perpendiculaire au grand axe et passant par le « centre de l'ellipse », milieu de [FF']. L'intersection du grand axe et du petit axe, centre de l'ellipse, est un centre de symétrie.
Les points d'intersection de l'ellipse avec son grand axe sont appelés sommets principaux, ceux de l'ellipse avec son petit axe sont dits secondaires.
Tangente et bissectrice
Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire (FMF'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.
Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.
Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriété possédée par l'ellipse est aussi appelée « propriété de réflexivité » et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse : de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis d'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer. Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique. Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond, par sa forme elliptique, fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galeries.
Circonférence
La circonférence c d'une ellipse est 4aE(e), ou E est une intégrale elliptique complète de deuxième espèce.
La série est :
![c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \cdots}\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/02afbe43c4036bf0554faeb2ede5fa6d_b60d481fad404d8a9b9303b9eb6664d2.png)
Une bonne approximation est donnée par une formule de Ramanujan :
![c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/aed48da661e7dde46dd3f629b93d8f13_a14995b052890d01df9c1fe3b46b388c.png)
qui peut aussi s'écrire :
![c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/de161dbd0cf20681d2d065c646fdc954_57e77c62a4bdaaeaca753cb6354cd93f.png)
ou a est la demi-longueur du grand axe et b la demi-longueur du petit axe.
Plus généralement, la longueur de l'arc, comme une fonction de l'angle sous-tendu, est donnée par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce. La fonction réciproque, l'angle sous-tendu comme une fonction de la longueur de l'arc, est donnée par les fonctions elliptiques.
