Espace complet - Définition
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Espace complètement métrisable
La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. Par exemple, pour la distance usuelle, l'ensemble des nombres réels est complet, bien qu'homéomorphe à l'intervalle ]-1,1[ qui, lui, ne l'est pas.
Un espace topologique est dit complètement métrisable s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Un tel espace est un cas particulier d'espace de Baire.
Un espace séparable complètement métrisable est appelé espace polonais.
Exemple : c'est le cas de l'espace ]-1,1[ dont la topologie est induite par la distance usuelle, non complète, mais également par la distance d(x,y) = | tan(xπ / 2) − tan(yπ / 2) | , complète.
Bibliographie
- Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001
- Garrett Birkhoff, 1967 (1940) Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of A.M.S. Colloquium Publications
