Théorème de Baire - Définition et Explications

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Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est d'intérieur vide.

Théorème de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés...) (dit aussi Lemme de Baire)

  1. Un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité...) localement compact E est de Baire;
  2. Un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) complet (E,d) (notamment un espace de Banach) est de Baire.


Quelques applications du lemme de Baire

  • Analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent...)
    • Théorèmes de l'application ouverte, du graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) fermé, de l'isomorphisme de Banach
    • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Banach-Steinhaus
    • Théorème de la limite simple de Baire
  • Connexité du tipi de Cantor
  • Théorème de superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité...) de Kolmogorov
  • Caractérisation des polynômes réels : Si f est une fonction C^{\infty} telle que (\forall x \in \mathbb{R}) (\exists n \in \mathbb{N}) (f^{(n)}(x)=0), alors f est un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) (noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente (\exists n \in \mathbb{N}) (\forall x \in \mathbb{R}) (f^{(n)}(x)=0)). Ici, f(n) désigne la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...) n-ième de f.
  • La boite à Baire (BwataBaire) est un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires (uniformisation...).
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