Espace polonais
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Un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie peut être définie par une distance qui en fait un espace complet. Tout espace compact métrisable, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sous-espace fermé ou ouvert d'un espace polonais (Un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie...), tout produit dénombrable d'espaces polonais, tout espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa...) séparable est un espace polonais.

Exemples

  • Ainsi tous les espaces usuels de l'analyse ou de l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...) sont polonais.
  • Tout espace localement compact (En topologie, un espace localement compact est un espace qui, à défaut d'être compact, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur...) à base dénombrable est polonais (c'est un ouvert dans son compactifié d'Alexandrov).
  • Mais il existe de nombreux espaces polonais intéressants dans lesquels tout compact est d'intérieur vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), par exemple les espaces de Banach séparables de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) infinie (à cause du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Riesz)
  • ou encore l'espace polonais fondamental NN (appelé souvent l'espace de Baire, d'où ambiguïté avec espace de Baire) qui, à un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est...) près, est le seul espace polonais totalement discontinu dans lequel tout compact est d'intérieur vide.
  • Noter que ]0,1[ est un espace polonais, d'ailleurs homéomorphe à R, mais n'est pas complet pour la distance usuelle.

Propriétés

  • De manière générale, un sous-espace d'un espace polonais est lui-même polonais ssi il est intersection d'une suite d'ouverts de l'espace (ce type de partie a un petit nom : on dit que c'est un Gδ ; voir classe de Baire). Ainsi les espaces polonais sont identifiables aux Gδ du cube de Hilbert (En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.).
  • Les espaces polonais sont des espaces de Baire. Autrement dit, dans un espace polonais le complémentaire d'une partie maigre contient un Gδ dense.
  • En particulier, si on ôte d'un espace polonais P sans points isolés un ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ; cela équivaut à l'existence d'une bijection de sur E.) D, il reste un sous-espace dense polonais J dont tout compact est d'intérieur vide ; si P est un intervalle de R et D l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des rationnels contenus dans P, ce qui reste est de plus totalement discontinu et donc homéomorphe à NN (appelé du coup souvent espace des irrationnels ; pour P=]0,1[, la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous...) en fraction continu(é)e donne un homéomorphisme entre J et NN).
  • Toute mesure μ (bornée ou σ-finie) sur la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la...) d'un espace polonais est intérieurement régulière relativement aux compacts. Autrement dit, pour tout borélien B on a \mu(B)=\sup\{\mu(K),\ K\ \mbox{compact inclus dans}\ B\}. Par conséquent, tout borélien est la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de...) d'une réunion dénombrable de compacts (petit nom : Kσ) et d'un ensemble μ-négligeable.
  • De ce qui précède on déduit que [0,1] est la réunion d'un Kσ maigre et d'un Gδ négligeable pour la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.). C'est une espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou dont il existe une multitude de...) de paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit l'intuition...), les ensembles maigres dans un espace de Baire étant " négligeables " du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) topologique.
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