Fonction de répartition - Définition

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- Introduction - Exemples de calculs de la fonction de répartition - Caractérisation de la loi par la fonction de répartition - Propriétés de la fonction de répartition - Conséquences du théorème de la réciproque - Théorème de la réciproque - Convergence en loi et fonction de répartition

Conséquences du théorème de la réciproque

Simulation de variables aléatoires réelles de loi arbitraire

Si $\ \scriptstyle U\$ désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur [0,1], alors $\ \scriptstyle X=G(U)\$ a pour fonction de répartition $\ \scriptstyle F\$ .

Ainsi dans tout langage de programmation possédant un générateur de nombres aléatoires, on peut simuler une suite de longueur arbitraire de v.a.r. indépendantes de même fonction de répartition $\ \scriptstyle F\$ , pourvu que $\ \scriptstyle G\$ soit connue : il suffit alors d'appeler ce générateur de manière répétée, et d'appliquer la fonction $\ \scriptstyle G\$ aux nombres produits par ces appels répétés.

Exemples

Exemples
	densité de probabilité	fonction de répartition	réciproque (généralisée)	code
Loi de Cauchy	$\scriptstyle\frac1{\pi(1+x^2)}$	$\scriptstyle F(x)=\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2+\arctan(x)\right)$	$\scriptstyle G(\omega)=\tan\left(\pi(\omega-\frac12)\right)$	$\scriptstyle x\leftarrow\tan\left(\pi(\mathrm{rand()}-\frac12)\right)$
Loi exponentielle	$\scriptstyle \lambda\,e^{-\lambda x}\ 1_{x\ge 0}$	$\scriptstyle F(x)=\left(1-e^{-\lambda x}\right)\ 1_{x\ge 0}$	$\scriptstyle G(\omega)=-\frac1{\lambda}\ \ln(1-\omega)$	$\scriptstyle x\leftarrow\ -\frac1{\lambda}\ \ln(\mathrm{rand()})$
Loi uniforme sur [a,b]	$\scriptstyle \frac{1}{b-a}\ 1_{[a,b]}(x)$	$\scriptstyle F(x)=\frac{x-a}{b-a}\ 1_{[a,b]}(x)\ +\ 1_{]b,+\infty[}(x)$	$\scriptstyle G(\omega)=a+\omega(b-a)$	$\scriptstyle x\leftarrow a+(b-a)\mathrm{rand()}$
Loi de Bernoulli		$\scriptstyle F(x)=(1-p)\ 1_{[0,1[}(x)\ +\ 1_{[1,+\infty[}(x)$	$\scriptstyle G(\omega)=\lfloor p+\omega\rfloor$	$\scriptstyle x\leftarrow \lfloor p+\ \mathrm{rand()}\rfloor$
Loi uniforme sur $\scriptstyle\{1,2,\dots,n\}$		$\scriptstyle F(x)=\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor\ 1_{[0,1]}(x)\ +\ 1_{]1,+\infty[}(x)$	$\scriptstyle G(\omega)=\lceil n\omega\rceil$	$\scriptstyle x\leftarrow \lceil n\ \mathrm{rand()}\rceil$
Loi normale, Loi binomiale	comme il n'y a pas de formule suffisamment explicite pour la fonction de répartition, et encore moins de formule explicite pour la réciproque de cette dernière, le théorème est alors inopérant.

Autres conséquences du théorème de la réciproque

La réciproque généralisée de $\scriptstyle\ F\$ est un exemple de v.a.r. dont la fonction de répartition est $\scriptstyle\ F\$ , mais c'est un exemple privilégié. Ses utilisations sont nombreuses, allant de propriétés de l'ordre stochastique, à des propriétés de la distance de Wasserstein [1], en passant par le théorème de représentation de Skorohod, voir section suivante.

Théorème de la réciproque

Soit $\ \scriptstyle F\$ une fonction de $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ dans $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ satisfaisant les 4 propriétés caractéristiques. Notons $\ \scriptstyle G\$ la fonction définie pour $\ \scriptstyle \omega \in]0,1[\$ par

Alors $\ \scriptstyle G\$ est une variable aléatoire réelle définie sur l'espace probabilisé $\ \scriptstyle \left(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}\right)\$ où $\ \scriptstyle \left(\Omega,\mathcal{A}\right)=\left(]0,1[,\mathcal{B}(]0,1[)\right)\$ et où $\ \scriptstyle \mathbb{P}\$ désigne la restriction à $\ \scriptstyle \mathcal{B}(]0,1[)\$ de la mesure de Lebesgue sur $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ . Le théorème stipule que :

Théorème — Sur l'espace $\ \scriptstyle \left(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}\right)\$ , la fonction de répartition de $\ \scriptstyle G\$ est $\ \scriptstyle F\$ .

Ainsi toute fonction $\ \scriptstyle F\$ de $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ dans $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ satisfaisant les 4 propriétés caractéristiques est fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle (de $\ \scriptstyle G\$ , par exemple), ou encore d'une mesure de probabilité sur $\ \scriptstyle \left(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)\$ (de la loi de $\ \scriptstyle G\$ , par exemple).

Démonstration

Pour $\ \scriptstyle \omega \in \Omega=]0,1[\$ , notons

Donc $\ \scriptstyle G(\omega)=\inf A_{\omega}\$ . A cause du point 4, $\ \scriptstyle A_{\omega}\neq\emptyset\$ , et à cause du point 3, $\ \scriptstyle A_{\omega}\$ est bornée inférieurement, donc $\ \scriptstyle G\$ est bien définie.

Commençons par un cas simple à titre d'entrainement:

F est continue strictement croissante

Si $\ \scriptstyle F\$ est continue strictement croissante sur $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ , alors $\ \scriptstyle F\$ est une bijection de $\ \scriptstyle \mathbb{R}\$ dans ]0,1[, et $\ \scriptstyle G\$ est la réciproque de $\ \scriptstyle F\$ (on peut s'en convaincre en traçant $\ \scriptstyle A_{\omega}\$ à l'aide du graphe de $\ \scriptstyle F$ ). A ce titre, $\ \scriptstyle G\$ est continue et strictement croissante sur ]0,1[, et en particulier $\ \scriptstyle G\$ est mesurable (c'est donc une v.a.r.). On a, de plus,

donc

Ainsi

Cas général

Dans le cas général, on a également

et on conclut donc exactement de la même manière que précédemment, mais la démonstration de l'équivalence ci-dessus est moins directe. Tout d'abord, pour $\ \scriptstyle \omega\le \omega^{\prime}\$ , $\ \scriptstyle A_{\omega}\supset A_{\omega^{\prime}}\$ , et donc $\ \scriptstyle G(\omega)\le G(\omega^{\prime})\$ . Du fait que $\ \scriptstyle G\$ est monotone, il résulte que $\ \scriptstyle G\$ est mesurable.

On a, par définition de $\ \scriptstyle A_{\omega}$ et de $\ \scriptstyle G(\omega)$ ,

La réciproque vient de ce que $\ \scriptstyle \left\{G(\omega)\in A_{\omega}\right\}\$ , i.e. $\ \scriptstyle \left\{\omega\le F(G(\omega))\right\},\$ ce qui, avec $\ \scriptstyle \left\{G(\omega)\le x\right\}\$ entraîne, par croissance de $\ \scriptstyle F\$ , $\ \scriptstyle \left\{F(G(\omega))\le F(x)\right\},\$ et finalement $\ \scriptstyle \left\{\omega\le F(x)\right\}.$ Supposons en effet que $\ \scriptstyle G(\omega)\notin A_{\omega}$ , et considérons une suite strictement décroissante $\ \scriptstyle (x_{n})_{n\ge 0}$ d'éléments de $\ \scriptstyle A_{\omega}$ telle que

Par continuité à droite de $\ \scriptstyle F\$ ,

mais également, par définition de $\ \scriptstyle A_{\omega}$ ,

ce qui conduit à $\ \scriptstyle G(\omega)\in A_{\omega}$ , d'où une contradiction (démonstration largement reprise de Sidney Resnick, A Probability Path).

Remarques.

Lorsque $\ \scriptstyle F\$ est une bijection bicontinue d'un intervalle $\ \scriptstyle I\$ dans $\ \scriptstyle ]0,1[\$ (i.e. $\ \scriptstyle F\$ est continue strictement croissante), $\ \scriptstyle G\$ est tout simplement la réciproque de $\ \scriptstyle F\$ (i.e. $\ \scriptstyle G\circ F=\text{Id}_I\$ et $\ \scriptstyle F\circ G=\text{Id}_{]0,1[}\$ ). Pour cette raison, $\ \scriptstyle G\$ est parfois appelée réciproque généralisée de $\ \scriptstyle F.$
L'intérêt pratique de ce Théorème est développé dans l'article Méthode de la transformée inverse, ainsi que dans la section suivante.

Propriétés de la fonction de répartition

Convergence en loi et fonction de répartition

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