Fonction de répartition - Définition
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Convergence en loi et fonction de répartition
Considérons une suite de variables aléatoires
On a le théorème suivant :
Théorème — Dans le cas de variables aléatoires réelles (
-
- pour tout réel
- il existe un espace probabilisé
-
- pour chaque
-
-
L'implication 1.
![\scriptstyle\ S=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})\](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/6bfa0c17e2d85d990761d80db4faf50e_4bc4a4cb8a250429cb11f468ca1437c2.png)
Une structure possible pour la démonstration est 3.
3. implique 1.
C'est le plus simple. Il faut démontrer que
![\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb{E}\left[f(X_n)\right]=\mathbb{E}\left[f(X)\right],](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/a9615e3f6607884ee583899e6b26d2d3_e1441d671648101fb12c7a1e8dcf189f.png)
ou bien, équivalemment,
![\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb{E}\left[f(X^{\prime}_n)\right]=\mathbb{E}\left[f(X^{\prime})\right].](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/9520be37c6da8c06a3f309f6e4f5302d_7d84601abf2e0387a05fdf9a1b1ca379.png)
Mais la continuité de
pour tout
1. implique 2.
On utilise la famille de fonctions continues bornées
![\mathbb{P}\left(Y\le a\right) \le \mathbb{E}\left[\varphi_{a,b}(Y)\right] \le \mathbb{P}\left(Y\le b\right),](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/38e77e6b67836cec541be22f6337ce93_f755bea554f28228109e2b5dc5391a7c.png)
et en particulier
![\mathbb{E}\left[\varphi_{x-\varepsilon,x}(X_n)\right] \le F_n(x) \le \mathbb{E}\left[\varphi_{x,x+\varepsilon}(X_n)\right].](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/67b6e69b31d41500e1080c30af932a3b_1a39801c3bf08e423ea8fd4de38e0be2.png)
On remarque alors que, pour tout 
,
![\begin{align} \limsup_n F_n(x) &\le \lim_n\mathbb{E}\left[\varphi_{x,x+\varepsilon}(X_n)\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\varphi_{x,x+\varepsilon}(X)\right] \le \mathbb{P}\left(X\le x+\varepsilon\right) = F(x+\varepsilon), \end{align}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/6f45eb7cb008df5a9d54391991bc0543_b7d83c586e00a12fc9dcd8f0e448a53c.png)
et
![\begin{align} \liminf_n F_n(x) &\ge \lim_n\mathbb{E}\left[\varphi_{x-\varepsilon,x}(X_n)\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\varphi_{x-\varepsilon,x}(X)\right] \ge \mathbb{P}\left(X\le x-\varepsilon\right) = F(x-\varepsilon). \end{align}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/297e02e4d9179c2a7095d8b8f109a9da_e67809f333bf748a3015b62de185cc82.png)
En faisant tendre
Ainsi, dès que
2. implique 3.
Notons
