Fonction de répartition - Définition et Explications

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Caractérisation de la loi par la fonction de répartition

Théorème — La loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition.

Ou bien encore : si deux variables aléatoires réelles ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi (et réciproquement).

En d'autres termes, si deux variables aléatoires réelles, \scriptstyle \ X\ et \scriptstyle \ Y, vérifient

\forall x\in\mathbb{R},\qquad \mathbb{P}(X\le x)=\mathbb{P}(Y\le x),

alors elles vérifient aussi que pour tout borélien \scriptstyle\ A,

\ \qquad \mathbb{P}(X\in A)=\mathbb{P}(Y\in A).

De plus, elles vérifient que pour toute fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) \scriptstyle\ \varphi,

\ \qquad \mathbb{E}[\varphi(X)]=\mathbb{E}[\varphi(Y)],

dès que l'un des deux termes de l'égalite a un sens.

Propriétés de la fonction de répartition

Propriétés caractéristiques

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) — La fonction de répartition d'une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une...) \scriptstyle \ X\ a les propriétés caractéristiques suivantes :

  1. \scriptstyle \ F_X\ est croissante ;
  2. Elle est partout continue à droite ;
  3. \lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0 ;
  4.  \lim_{x \to +\infty}F_X(x)=1.

Comme on l'a dit, les points 1 à 4 sont caractéristiques de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle (Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou...) \scriptstyle \ X\  : étant donné une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux...) de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) réelle, notons la \scriptstyle F, satisfaisant les points 1 à 4, on peut construire concrètement une variable aléatoire réelle \scriptstyle \ X\ ayant \scriptstyle F pour fonction de répartition, voir ci-dessous le . Notons que la construction utilisant le sert concrètement à produire, sur ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...), des échantillons de taille arbitraire d'une loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit...) arbitraire, ce qui est l'ingrédient de base des méthodes de Monte-Carlo.

Autres propriétés

A cause des points 1, 3 et 4, FX est bornée, plus précisément

 \forall x \in \mathbb{R},\ \ \  0\leq F_X(x)\leq 1.

Comme toute fonction monotone bornée, FX admet en tout point x une limite à gauche FX (x ) , limite à gauche égale ou non à FX (x) selon que FX est continue en x ou non.

La connaissance de la fonction de répartition permet de calculer la probabilité de tout intervalle

  • P(X \in ]- \infty;x])\,=\,P(X \le x)\,=\,F_X(x),
  • P(X \in ]x; + \infty[)\,=\,P(X >x)\,=\,1-F_X(x),
  • P(X \in ]x;y])\,=\,P(x < X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x),
  • P(X \in ]- \infty;x[)\,=\,P(X <x)\,=\,F_X(x_-),
  • P(X \in ]x;y[ )\,=\,P(x < X < y)\,=\,F_X(y_-)-F_X(x),
  • P(X \in [x;y[)\,=\,P(x\le X <y)\,=\,F_X(y_-) - F_X(x_-),
  • P(X \in [x;y])\,=\,P(x \le X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x_-),

et

  • P(X=x) = F_X(x) - F_X(x_-)\,

On appelle atome de la variable aléatoire X tout réel a pour lequel \scriptstyle \ P[X=a]>0. Ainsi, en vertu de la dernière propriété de la liste ci-dessus,

Propriété — Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition.

La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est donc continue si et seulement si X n'a aucun atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que...), i.e. si et seulement si

\forall x\in\mathbb{R},\ P[X = x]=0.

On dit alors que la loi de X est diffuse, ou bien sans atome, et, par extension, que la variable aléatoire X elle-même est diffuse ou sans atome. En particulier, les variables aléatoires réelles possédant une densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est...) sont diffuses. Il existe cependant des variables aléatoires diffuses mais ne possédant pas pour autant une densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) de probabilité, c'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire ayant pour fonction de répartition l'escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite...) de Cantor.

Notons que l'ensemble des points de discontinuité de FX est fini ou dénombrable, comme c'est le cas pour toute fonction monotone bornée :

Conséquence — L'ensemble S des atomes de la variable aléatoire X est fini ou dénombrable.

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