Mardi 29 Avril 2025
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Fonction de répartition - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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- Introduction - Exemples de calculs de la fonction de répartition - Caractérisation de la loi par la fonction de répartition - Propriétés de la fonction de répartition - Conséquences du théorème de la réciproque - Théorème de la réciproque - Convergence en loi et fonction de répartition

Caractérisation de la loi par la fonction de répartition

Théorème — La loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition.

Ou bien encore : si deux variables aléatoires réelles ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi (et réciproquement).

Sous l'hypothèse \scriptstyle \ F_X=F_Y , on peut démontrer de manière élémentaire que \scriptstyle \ \mathbb{P}(X\in A)=\mathbb{P}(Y\in A), dès que \scriptstyle \ A est un borélien "simple" (par exemple, si \scriptstyle \ A est un intervalle). Par contre, la démonstration générale (pour tout borélien \scriptstyle \ A ) est un cas particulier du lemme d'unicité des probabilités, lui-même corollaire du lemme de classe monotone, appliqué à la classe

\mathcal{C}=\left\{(-\infty,x]\ |\ x\in\mathbb{R}\right\}.

Il faut vérifier que

  1. la classe \scriptstyle\ \mathcal{C}\ est stable par intersection finie,
  2. la tribu engendrée par \scriptstyle\ \mathcal{C}\ contient (et en fait est égale à) la tribu borélienne.

Le lemme d'unicité des probabilités permet alors de conclure.

Vérifions 1. Soit \scriptstyle\ I\ une partie finie de \scriptstyle\ \mathbb{R}\ . Soit \scriptstyle\ y\ l'élément minimal de \scriptstyle\ I . Alors

\bigcap_{x\in I}(-\infty,x]\,=\,(-\infty,y]\ \in\ \mathcal{C}.

Vérifions 2. La tribu engendrée par \scriptstyle\ \mathcal{C}\ est notée \scriptstyle\sigma (\mathcal{C}) . La tribu borélienne est notée \scriptstyle\ \mathcal{B}(\mathbb{R}) , comme souvent. Notons

\mathcal{D}=\left\{(x,+\infty)\ |\ x\in\mathbb{R}\right\}.

On a \scriptstyle\ \mathcal{D}\subset\sigma (\mathcal{C}), en vertu de la stabilité des tribus par passage au complémentaire, donc \scriptstyle\ \sigma (\mathcal{D})\subset\sigma (\mathcal{C}), par définition d'une tribu engendrée. On peut interchanger \scriptstyle\ \mathcal{C}\ et \scriptstyle\ \mathcal{D}\ dans ce qui précède, donc, par double inclusion,

\sigma (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{D}).

Comme \scriptstyle\ \mathcal{D}\ est une partie de l'ensemble des ouverts, on en déduit que

\sigma (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{D})\ \subset \ \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Mais il nous faut surtout démontrer l'inclusion en sens inverse, et, pour cela, démontrer que tout ouvert de \scriptstyle\ \mathbb{R} est dans \scriptstyle\sigma (\mathcal{C}) (ainsi \scriptstyle\sigma (\mathcal{C}) est une tribu contenant tous les ouverts de \scriptstyle\ \mathbb{R} , alors que \scriptstyle\ \mathcal{B}(\mathbb{R}) est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de \scriptstyle\ \mathbb{R} ). Un argument rapide est de constater que

  • tout ouvert de \scriptstyle\ \mathbb{R} est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, et que
  • les intervalles ouverts sont dans \scriptstyle\sigma (\mathcal{C}) .

Le premier point résulte de ce que

  • un ouvert \scriptstyle\ \mathcal{O}\ est réunion disjointe de ses composantes connexes (cela est vrai pour toute partie de \scriptstyle\ \mathbb{R} ),
  • les parties connexes de \scriptstyle\ \mathbb{R}, (et en particulier les composantes connexes ci-dessus) sont exactement les intervalles de \scriptstyle\ \mathbb{R},
  • comme \scriptstyle\ \mathbb{R} est localement connexe, les composantes connexes d'un ouvert sont automatiquement ouvertes.
  • dans chaque composante connexe \scriptstyle\ A\ de notre ouvert \scriptstyle\ \mathcal{O} , on peut choisir un nombre rationnel \scriptstyle\ q_A . Les \scriptstyle\ q_A sont distincts car les composantes sont disjointes. Ainsi \scriptstyle\ A\ \rightarrow\ q_A est une bijection entre la famille des composantes connexes de \scriptstyle\ \mathcal{O}\ et une partie de \scriptstyle\ \mathbb{Q}. La famille des composantes connexes de \scriptstyle\ \mathcal{O}\ est donc finie ou dénombrable.

Le deuxième point tient à ce que

  • \scriptstyle\forall x\in\mathbb{R},\qquad(x,+\infty)\ \in\ \sigma (\mathcal{C}),\qquad comme on l'a vu plus haut ;
  • \scriptstyle\forall y\in\mathbb{R},\qquad(-\infty,y)\ =\ \bigcup_{n\ge 1}\ \left(-\infty,y-\tfrac1n\right]\ \in\ \sigma (\mathcal{C})\  ;
  • \scriptstyle\forall x<y\,\in\ \mathbb{R},\qquad(x,y)\ =\ (-\infty,y)\,\cap\,(x,+\infty)\ \in\ \sigma (\mathcal{C}).

CQFD

En d'autres termes, si deux variables aléatoires réelles, \scriptstyle \ X\ et \scriptstyle \ Y , vérifient

\forall x\in\mathbb{R},\qquad \mathbb{P}(X\le x)=\mathbb{P}(Y\le x),

alors elles vérifient aussi que pour tout borélien \scriptstyle\ A ,

\ \qquad \mathbb{P}(X\in A)=\mathbb{P}(Y\in A).

De plus, elles vérifient que pour toute fonction mesurable \scriptstyle\ \varphi ,

\ \qquad \mathbb{E}[\varphi(X)]=\mathbb{E}[\varphi(Y)],

dès que l'un des deux termes de l'égalite a un sens.

Propriétés de la fonction de répartition

Propriétés caractéristiques

Théorème — La fonction de répartition d'une variable aléatoire \scriptstyle \ X\ a les propriétés caractéristiques suivantes :

  1. \scriptstyle \ F_X\ est croissante ;
  2. Elle est partout continue à droite ;
  3. \lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0  ;
  4. \lim_{x \to +\infty}F_X(x)=1.

Le point 1 découle de la propriété de croissance des mesures de probabilité

\{x\le y\}\Rightarrow\{]-\infty, x]\ \subset\ ]-\infty, y]\}\Rightarrow\{\mathbb{P}_{X}(]-\infty, x])\le\mathbb{P}_{X}(]-\infty, y])\}.

Comme \scriptstyle \ F_X\ est une fonction monotone, le point 2 se réduit à montrer que

\lim_{n}F_{X}\left(x+\tfrac1n\right)=F_{X}(x),

ou encore, équivalemment,

Mais les boréliens \scriptstyle \ \left]-\infty, x+\tfrac{1}{n}\right]\ forment une suite décroissante, et

\bigcap_{n\ge 1}\left]-\infty, x+\tfrac1n\right]\ =\ \left]-\infty, x\right],

donc le point 2 est une conséquence des axiomes des probabilités. Comme \scriptstyle \ F_X\ est monotone, le point 3 se réduit à montrer que

\lim_{n}F_X(-n) = 0.

Ceci est encore une conséquence des axiomes des probabilités, puisque

\bigcap_{n\ge 1}\left]-\infty, -n\right]\ =\ \emptyset.

Le point 4 découle, de la même manière, de

\bigcup_{n\ge 1}\left]-\infty, n\right]\ =\ \R.

Comme on l'a dit, les points 1 à 4 sont caractéristiques de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle \scriptstyle \ X\  : étant donné une fonction réelle de la variable réelle, notons la \scriptstyle F , satisfaisant les points 1 à 4, on peut construire concrètement une variable aléatoire réelle \scriptstyle \ X\ ayant \scriptstyle F pour fonction de répartition, voir ci-dessous le . Notons que la construction utilisant le sert concrètement à produire, sur ordinateur, des échantillons de taille arbitraire d'une loi de probabilité arbitraire, ce qui est l'ingrédient de base des méthodes de Monte-Carlo.

Autres propriétés

A cause des points 1, 3 et 4, FX est bornée, plus précisément

\forall x \in \mathbb{R},\ \ \ 0\leq F_X(x)\leq 1.

Comme toute fonction monotone bornée, FX admet en tout point x une limite à gauche FX (x— ) , limite à gauche égale ou non à FX (x) selon que FX est continue en x ou non.

La connaissance de la fonction de répartition permet de calculer la probabilité de tout intervalle

  • P(X \in ]- \infty;x])\,=\,P(X \le x)\,=\,F_X(x),
  • P(X \in ]x; + \infty[)\,=\,P(X >x)\,=\,1-F_X(x),
  • P(X \in ]x;y])\,=\,P(x < X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x),
  • P(X \in ]- \infty;x[)\,=\,P(X <x)\,=\,F_X(x_-),
  • P(X \in ]x;y[ )\,=\,P(x < X < y)\,=\,F_X(y_-)-F_X(x),
  • P(X \in [x;y[)\,=\,P(x\le X <y)\,=\,F_X(y_-) - F_X(x_-),
  • P(X \in [x;y])\,=\,P(x \le X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x_-),

et

  • P(X=x) = F_X(x) - F_X(x_-)\,
  • \scriptstyle \ P(X \in ]- \infty;x])\,=\,P(X \le x)\,=\,F_X(x), est la définition d'une fonction de répartition.
  • on obtient \scriptstyle \ P(X \in ]x; + \infty[)\,=\,P(X >x)\,=\,1-F_X(x)\ par passage au complémentaire,
  • pour \scriptstyle \ P(X \in ]x;y])\,=\,P(x < X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x), on utilise \scriptstyle \ \{A \subset B\}\ \Rightarrow\ \{P(B \setminus A) =P(B) - P(A)\},\ pour \scriptstyle \ A=]- \infty;x]\ et \scriptstyle \ B=]- \infty;y],\
  • La relation \scriptstyle \ P(X \in ]- \infty;x[)\,=\,P(X <x)\,=\,F_X(x_-), est la plus délicate et fait intervenir une conséquence des axiomes des probabilités sur la probabilité de l'union d'une suite croissante d'ensembles. On considère une suite \scriptstyle \ (x_n)\ de réels croissante, convergeant vers x. L'intervalle \scriptstyle \ ]- \infty ; x[\ est alors union dénombrable de la suite croissante d'intervalles \scriptstyle \ ]- \infty ; x_{n}] . La probabilité de l'intervalle \scriptstyle \ ]- \infty ; x[\ est donc la limite des probabilités des intervalles \scriptstyle \ ]- \infty ; x_{n}] , i.e. la limite de la suite \scriptstyle \ F_X(x_{n} ). Par propriété des fonctions croissantes, cette limite existe et vaut \scriptstyle \ F_X(x_-).

Les 5 dernières propriétés découlent de \scriptstyle \ \{A \subset B\}\ \Rightarrow\ \{P(B \setminus A) =P(B) - P(A)\},\ pour différents choix de \scriptstyle \ A\ et \scriptstyle \ B :\

  • \scriptstyle \ P(X \in ]x;y[ )\,=\,P(x < X < y)\,=\,F_X(y_-)-F_X(x), pour \scriptstyle \ A=]- \infty ; x],\quad \ B=]- \infty ; y[,\
  • \scriptstyle \ P(X \in [x;y[)\,=\,P(x\le X <y)\,=\,F_X(y_-) - F_X(x_-), pour \scriptstyle \ A=]- \infty ; x[,\quad \ B=]- \infty ; y[,\
  • \scriptstyle \ P(X \in [x;y])\,=\,P(x \le X \le y)\,=\,F_X(y) - F_X(x_-), pour \scriptstyle \ A=]- \infty ; x[,\quad \ B=]- \infty ; y],\
  • \scriptstyle \ P(X=x) = F_X(x) - F_X(x_-)\, pour \scriptstyle \ A=]- \infty ; x[,\quad \ B=]- \infty ; x].\

On appelle atome de la variable aléatoire X tout réel a pour lequel \scriptstyle \ P[X=a]>0. Ainsi, en vertu de la dernière propriété de la liste ci-dessus,

Propriété — Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition.

La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est donc continue si et seulement si X n'a aucun atome, i.e. si et seulement si

\forall x\in\mathbb{R},\ P[X = x]=0.

On dit alors que la loi de X est diffuse, ou bien sans atome, et, par extension, que la variable aléatoire X elle-même est diffuse ou sans atome. En particulier, les variables aléatoires réelles possédant une densité de probabilité sont diffuses. Il existe cependant des variables aléatoires diffuses mais ne possédant pas pour autant une densité de probabilité, c'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire ayant pour fonction de répartition l'escalier de Cantor.

Notons que l'ensemble des points de discontinuité de FX est fini ou dénombrable, comme c'est le cas pour toute fonction monotone bornée :

Conséquence — L'ensemble S des atomes de la variable aléatoire X est fini ou dénombrable.

Exemples de calculs de la fonction de répartition
Conséquences du théorème de la réciproque
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