Graphe de Hatzel - Définition

Introduction

Le graphe de Hatzel est, en théorie des graphes, un graphe possédant 57 sommets et 88 arêtes. Il est hypohamiltonien, c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycle hamiltonien mais que la suppression de n'importe lequel de ses sommets suffit à le rendre hamiltonien. Il est également planaire : il est possible de le représenter sur un plan sans qu'aucune arête n'en croise une autre.

Histoire

Les graphes hypohamiltonien furent étudiés pour la première fois par Sousselier en 1963 dans Problèmes plaisants et délectables. En 1967 Lindgren découvre une classe infinie de graphes hypohamiltoniens. Il cite alors Gaudin, Herz et Rossi puis Busacker et Saaty en tant qu'autres précurseurs sur le sujet.

Dès le départ, le plus petit graphe hypohamiltonien est connu : le graphe de Petersen. Cependant la recherche du plus petit graphe hypohamiltonien planaire reste ouverte. La question de l'existence d'un tel graphe est introduite par Chvatal 1973. La réponse est apportée par Thomassen en 1976, qui exhibe un exemple à 105 sommets, le 105-graphe de Thomassen. En 1979, Hatzel améliore ce résultat en introduisant un graphe hypohamiltonien planaire à 57 sommets : le graphe de Hatzel.

Le graphe de Hatzel est battu en 2007 par le 48-graphe de Zamfirescu. En 2009, le graphe de Zamfirescu est battu à son tour par le graphe de Wiener-Araya qui devient avec ses 42 sommets le plus petit graphe hypohamiltonien planaire connu.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Hatzel, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 7 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Hatzel est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Hatzel est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Hatzel est un groupe d'ordre 8.

Le polynôme caractéristique du graphe de Hatzel est : − (x − 1)⁴(x + 2)(x² − 2)²(x² + 2x − 1)⁴(x³ + x² − 2x − 1)(x⁴ − 2x³ − 5x² + 9x + 1)(x⁶ + x⁵ − 9x⁴ − 4x³ + 20x² − x − 4)(x⁹ − 4x⁸ − 12x⁷ + 55x⁶ + 40x⁵ − 245x⁴ + 3x³ + 354x² − 144x − 16)(x⁹ − x⁸ − 14x⁷ + 10x⁶ + 65x⁵ − 31x⁴ − 103x³ + 31x² + 17x − 3)².