Idéal
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Idéaux particuliers

Idéal maximal : un idéal M est maximal s'il existe exactement deux idéaux contenant M, à savoir A et M lui même, autrement dit si A/M est un corps.

Idéal premier : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est...) I est premier si I est différent de A, et pour tous a et bde A tels que ab\in I, on a la propriété que si a \notin I alors b \in I. Ainsi, I est premier si et seulement si A/I est intègre.

Idéal irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de deux idéaux différents de I.

(Dans un anneau commutatif unitaire, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) idéal maximal est premier et tout idéal premier est irréductible.)

Idéal principal : l'idéal engendré par un élément a de l'anneau est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) le plus petit idéal contenant a. On le note (a). Un idéal I d'un anneau A est principal s'il existe un élément a de A tel que I=(a).

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal. Par exemple, \mathbb{Z} ou l'anneau K[X] des polynômes sur un corps K sont des anneaux principaux.

Idéal de type fini : c'est un idéal engendré par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini d'éléments t_1,\ldots, t_n. Donc tout élément de l'idéal s'écrit comme a_1t_1+\ldots+a_nt_n avec des a_i\in A (s'il s'agit d'un idéal à gauche).

Idéal radiciel : un idéal est radiciel s'il est égal à son radical . C'est le cas par exemple de tout idéal premier dans un anneau commutatif unitaire.

Idéal primaire : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est primaire si pour tous a et b de A tels que ab\in I , si a \notin I alors, il existe un entier naturel n tel que b^n \in I.

Idéal décomposable : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal est décomposable s'il est l'intersection finie d'idéaux primaires.

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