Une partie I d'un anneau A est un idéal à gauche de A si :
et est un idéal à droite de A si :
Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.
Exemples:
Si I est un idéal d'un anneau commutatif A, on appelle radical de I, noté
Si A est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes
Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux considérés sont de même type (par ex. tous bilatères)
Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble
Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.
L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.
Idéal engendré : la seconde loi permet de mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.
Produit : si I et J sont deux idéaux bilatères d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal IJ égal à l'ensemble des sommes finies
∑ | xkyk |
k |
où
Anneau quotient : si I est un idéal bilatère, la relation
Si A est un anneau commutatif intègre et si K est son corps des fractions, un idéal fractionnaire de A est une partie de K de la forme d-1J où d est un élément non nul de A et J un idéal de A. (Attention à cette appellation trompeuse : un idéal fractionnaire de A n'est en général pas un idéal de A, ni même une partie de A.)
Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I est dit inversible s'il existe un idéal fractionnaire L tel que I.L = A.
Un cas particulier important est celui où A est un anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps Q. On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème affirme que ce groupe est fini.
Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi