Idéal
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Définition

Une partie I d'un anneau A est un idéal à gauche de A si :

  • I est un sous-groupe additif de A.
  • \forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I
    Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

  • I est un sous-groupe additif de A.
  • \forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I
    Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples:

  • Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier relatif k, k \mathbb{Z} est un idéal de \mathbb{Z}.
  • Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont sans intérêt, c'est la raison pour laquelle on appellera idéal propre un idéal différent de A.
  • Si A est un anneau unitaire et si I est un idéal contenant 1 alors I = A. Plus généralement, si I contient un élément inversible alors I = A
  • Les seuls idéaux dans un corps K sont les idéaux triviaux ; c'est pourquoi le domaine d'application des idéaux est la divisibilité dans un anneau.

Radical d'un idéal d'un anneau commutatif

Si I est un idéal d'un anneau commutatif A, on appelle radical de I, noté \sqrt{I} , l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des éléments x de A tels qu'il existe un entier naturel n pour lequel  x^n \in I. C'est un idéal de A.

Exemple: 30\mathbb Z est le radical de 360\mathbb Z

Si A est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

  •  \sqrt{I} \supset I
  • \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}
  • \sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}
  •  \sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}
  • Si de plus A est unitaire,  \sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A

Opérations portant sur les idéaux

Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux considérés sont de même type (par ex. tous bilatères)

Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble I+ J = \{x + y | x \in I \ et \ y \in J\} est un idéal.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.

L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.

Idéal engendré : la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. ...) loi permet de mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.

Exemples:
  • Pour un anneau commutatif A et un élément a de cet anneau, l'idéal engendré par {a} est aA (par exemple l'idéal de \Z engendré par {n} est n\Z).
  • Pour I et J deux idéaux de A, le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi...) I \cup J de A n'est pas un idéal (sauf exceptions triviales). L'idéal de A engendré par cette partie est I + J.

Produit : si I et J sont deux idéaux bilatères d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal IJ égal à l'ensemble des sommes finies

xkyk
k

x_k\in I et y_k\in J. On a IJ\subset I\cap J

Exemple : dans l'anneau \mathbb Z , le produit des idéaux n\mathbb Z et p\mathbb Z est l'idéal np\mathbb Z et ce dernier est inclus dans n\mathbb Z \cap p\mathbb Z

Anneau quotient : si I est un idéal bilatère, la relation x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur l'ensemble des classes \dot x = x + I une structure d'anneau appelé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

Autres types d'idéaux

Idéal fractionnaire

Si A est un anneau commutatif intègre et si K est son corps des fractions, un idéal fractionnaire de A est une partie de K de la forme d-1J où d est un élément non nul de A et J un idéal de A. (Attention à cette appellation trompeuse : un idéal fractionnaire de A n'est en général pas un idéal de A, ni même une partie de A.)

Exemple : si A est l'anneau Z des entiers, son corps des fractions est le corps Q des rationnels. Si n et d sont deux entiers, avec d non nul, l'ensemble (d -1)(n Z) des rationnels qui peuvent s'écrire \frac{nk}d (avec k entier) est un idéal fractionnaire de Z.

Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I est dit inversible s'il existe un idéal fractionnaire L tel que I.L = A.

Un cas particulier important est celui où A est un anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux de cette planète.)'entiers algébriques d'une extension finie du corps Q. On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction...) les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) affirme que ce groupe est fini.

Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi \vee et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x \wedge y appartient à J.

Exemple : Si E est un ensemble et A \subset E. L'ensemble \mathcal P(A) des parties de A est un idéal de \mathcal P(E)
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