Idéal - Définition et Explications

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Définition

Une partie I d'un anneau A est un idéal à gauche de A si :

  • I est un sous-groupe additif de A.
  • \forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I
    Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

  • I est un sous-groupe additif de A.
  • \forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I
    Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples:

  • Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier relatif k, k \mathbb{Z} est un idéal de \mathbb{Z}.
  • Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont sans intérêt, c'est la raison pour laquelle on appellera idéal propre un idéal différent de A.
  • Si A est un anneau unitaire et si I est un idéal contenant 1 alors I = A. Plus généralement, si I contient un élément inversible alors I = A
  • Les seuls idéaux dans un corps K sont les idéaux triviaux ; c'est pourquoi le domaine d'application des idéaux est la divisibilité dans un anneau.

Radical d'un idéal d'un anneau commutatif

Si I est un idéal d'un anneau commutatif A, on appelle radical de I, noté \sqrt{I} , l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des éléments x de A tels qu'il existe un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une...) n pour lequel  x^n \in I. C'est un idéal de A.

Exemple: 30\mathbb Z est le radical de 360\mathbb Z

Si A est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

  •  \sqrt{I} \supset I
  • \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}
  • \sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}
  •  \sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}
  • Si de plus A est unitaire,  \sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A

Opérations portant sur les idéaux

Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux considérés sont de même type (par ex. tous bilatères)

Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble I+ J = \{x + y | x \in I \ et \ y \in J\} est un idéal.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.

L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.

Idéal engendré : la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan....) loi permet de mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.

Exemples:
  • Pour un anneau commutatif A et un élément a de cet anneau, l'idéal engendré par {a} est aA (par exemple l'idéal de \Z engendré par {n} est n\Z).
  • Pour I et J deux idéaux de A, le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut...) I \cup J de A n'est pas un idéal (sauf exceptions triviales). L'idéal de A engendré par cette partie est I + J.

Produit : si I et J sont deux idéaux bilatères d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal IJ égal à l'ensemble des sommes finies

xkyk
k

x_k\in I et y_k\in J. On a IJ\subset I\cap J

Exemple : dans l'anneau \mathbb Z , le produit des idéaux n\mathbb Z et p\mathbb Z est l'idéal np\mathbb Z et ce dernier est inclus dans n\mathbb Z \cap p\mathbb Z

Anneau quotient : si I est un idéal bilatère, la relation x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur l'ensemble des classes \dot x = x + I une structure d'anneau appelé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

Autres types d'idéaux

Idéal fractionnaire

Si A est un anneau commutatif intègre et si K est son corps des fractions, un idéal fractionnaire de A est une partie de K de la forme d-1J où d est un élément non nul de A et J un idéal de A. (Attention à cette appellation trompeuse : un idéal fractionnaire de A n'est en général pas un idéal de A, ni même une partie de A.)

Exemple : si A est l'anneau Z des entiers, son corps des fractions est le corps Q des rationnels. Si n et d sont deux entiers, avec d non nul, l'ensemble (d -1)(n Z) des rationnels qui peuvent s'écrire \frac{nk}d (avec k entier) est un idéal fractionnaire de Z.

Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I est dit inversible s'il existe un idéal fractionnaire L tel que I.L = A.

Un cas particulier important est celui où A est un anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux de cette planète.)'entiers algébriques d'une extension finie du corps Q. On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En...) les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) affirme que ce groupe est fini.

Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi \vee et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x \wedge y appartient à J.

Exemple : Si E est un ensemble et A \subset E. L'ensemble \mathcal P(A) des parties de A est un idéal de \mathcal P(E)
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