Idéal premier - Définition et Explications

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Introduction

Richard Dedekind 1831-1916 formalisateur du concept d'idéal

Un idéal premier est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...).

Un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) d'un anneau commutatif unitaire est dit premier si le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre.

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) permet de généraliser la notion de nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Ils ont un rôle important, particulièrement en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres et plus particulièrement en arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...).

Motivations

Ouvrage de Gauss sur l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) 1801

Arithmétique

En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...) développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers qui portent son nom.

Ces anneaux contiennent des éléments ayant les mêmes propriétés que ceux des nombres premiers, les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Cette approche est particulièrement fructueuse, elle permet par exemple de démontrer beaucoup plus simplement le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) des deux carrés de Fermat ou une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) particulièrement difficile pour l'époque la loi de réciprocité quadratique.

Cette approche est généralisée aux entiers algébriques. En 1847 Gabriel Lamé utilise une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) brutale et croit avoir démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer montre que l'unicité associé au théorème de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en facteurs premiers n'est plus assurée. Il développe les nombres complexes idéaux pour retrouver une unicité à travers un nouveau concept.

Ce concept ayant pour objectif de pallier les insuffisances des propriétés des nombres, est formalisé par la notion d'idéal, à la suite des travaux de Richard Dedekind . Il existe plusieurs propriétés pour caractériser les différents idéaux. Un idéal premier correspond au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) premier. Dans les cas simples, où l'idéal est associé à un nombre, par exemple parce que l'anneau est principal ou factoriel, les notions coïncident. Les nombres premiers, définis usuellement par le fait que dans toute décomposition en deux facteurs, l'un au moins est un élément inversible, correspondent alors à un idéal premier. Dans les cas plus complexes, comme les anneaux de Dedekind, le concept d'idéal premier reste opérationnel, alors que celui de nombre premier perd largement sa puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) opératoire.

Géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...)

Exemple de variété algébrique (Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines...)

Une variété algébrique est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) de base de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) algébrique. Elle correspond à une géométrie définie par des équations algébriques. Un des objets de la géométrie algébrique est le classement des différentes variétés. La notion d'idéal premier est à la base de ces classements.

De même qu'un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) peut être vu sous l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) d'un idéal de l'anneau des polynômes, une variété algébrique peut être définie par l'idéal des polynômes qui s'annulent sur cette variété. Une variété est alors parfaitement classée par la données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) des idéaux premiers de polynômes qui s'annulent sur elle.

L'association de la géométrie et de l'arithmétique ouvre la voie à la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) de nombreux théorèmes. Elle est, par exemple, à la base de la démonstration du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1994.

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