Idéal premier - Définition
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Introduction
Un idéal premier est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre.
Un idéal d'un anneau commutatif unitaire est dit premier si le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre.
Cette définition permet de généraliser la notion de nombre premier à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Ils ont un rôle important, particulièrement en théorie algébrique des nombres et plus particulièrement en arithmétique modulaire.
Motivations
Arithmétique
En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'ensemble des entiers qui portent son nom.
Ces anneaux contiennent des éléments ayant les mêmes propriétés que ceux des nombres premiers, les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Cette approche est particulièrement fructueuse, elle permet par exemple de démontrer beaucoup plus simplement le théorème des deux carrés de Fermat ou une conjecture particulièrement difficile pour l'époque la loi de réciprocité quadratique.
Cette approche est généralisée aux entiers algébriques. En 1847 Gabriel Lamé utilise une généralisation brutale et croit avoir démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer montre que l'unicité associé au théorème de décomposition en facteurs premiers n'est plus assurée. Il développe les nombres complexes idéaux pour retrouver une unicité à travers un nouveau concept.
Ce concept ayant pour objectif de pallier les insuffisances des propriétés des nombres, est formalisé par la notion d'idéal, à la suite des travaux de Richard Dedekind . Il existe plusieurs propriétés pour caractériser les différents idéaux. Un idéal premier correspond au nombre premier. Dans les cas simples, où l'idéal est associé à un nombre, par exemple parce que l'anneau est principal ou factoriel, les notions coïncident. Les nombres premiers, définis usuellement par le fait que dans toute décomposition en deux facteurs, l'un au moins est un élément inversible, correspondent alors à un idéal premier. Dans les cas plus complexes, comme les anneaux de Dedekind, le concept d'idéal premier reste opérationnel, alors que celui de nombre premier perd largement sa puissance opératoire.
Géométrie algébrique
Une variété algébrique est l'objet de base de la géométrie algébrique. Elle correspond à une géométrie définie par des équations algébriques. Un des objets de la géométrie algébrique est le classement des différentes variétés. La notion d'idéal premier est à la base de ces classements.
De même qu'un polynôme peut être vu sous l'angle d'un idéal de l'anneau des polynômes, une variété algébrique peut être définie par l'idéal des polynômes qui s'annulent sur cette variété. Une variété est alors parfaitement classée par la données des idéaux premiers de polynômes qui s'annulent sur elle.
L'association de la géométrie et de l'arithmétique ouvre la voie à la démonstration de nombreux théorèmes. Elle est, par exemple, à la base de la démonstration du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1994.
