Application identité
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En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :

\forall x\in X, f(x)=x\in X.

Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) de l'espace produit X×X.

Pour X=R, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des nombres réels, le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) est la première bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de...) du plan euclidien.

Notations

L'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) sur X est notée id, idX , Id ou encore IdX .

Elle est parfois notée 1X , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :

f\circ id_X=f=id_Y\circ f.

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même.

L'application identité est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) de X dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions (En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la seconde (à l'argument choisi).), constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), dont l'application identité est l'élément neutre.

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des...)

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E,T) dans (E,T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'.

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