Application identité - Définition

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En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :

\forall x\in X, f(x)=x\in X.

Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) de l'espace produit X×X.

Pour X=R, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres réels, le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) est la première bissectrice (En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un...) du plan euclidien.

Notations

L'application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui...) sur X est notée id, idX , Id ou encore IdX .

Elle est parfois notée 1X , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :

f\circ id_X=f=id_Y\circ f.

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde (En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble...) des applications de X dans lui-même.

L'application identité est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) de X dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions (En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions,...), constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), dont l'application identité est l'élément neutre.

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...)

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E,T) dans (E,T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'.

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