Ouvert (topologie) - Définition

Exemples de définitions restreintes/corolaire pour des espaces particuliers

Topologies discrète et topologie grossière

Le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

N'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. Exemples :

• la topologie réduite à l'ensemble vide et à X est la topologie grossière.
• l'ensemble de toutes les parties constitue la topologie discrète.

Espaces métriques

Soit (E,d) un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre et de rayon r > 0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est strictement inférieure à r :

.

Une partie U de cet espace est ouverte si et seulement si pour tout point x de U, il existe une boule centrée sur x et incluse dans U :

De façon équivalente, U est ouverte si et seulement si tout point de U possède un voisinage inclus dans U.

Cela signifie que U est un ouvert de E si pour chacun de ses points x, il contient également les points suffisamment proches de x : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point deU n'est au bord de U.

Exemples :

Le point x est un point intérieur de S, car il est contenu dans S ainsi que l'intérieur d'un disque qui l'entoure. Le point y n'est pas à l'intérieur de S, car aucun disque centré en y n'est entièrement contenu dans S.

• Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
• L'ensemble vide et l'ensemble E sont des ouverts.
• La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

Remarque :

• Dans , pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.

L'ensemble des ouverts de E est appelé la topologie de E.

Géométrie algébrique : ouverts de Zariski

En géométrie algébrique, un ensemble algébrique affine de est l'ensemble des points qui vérifient un ensemble E d'équations polynomiales : si E est un ensemble de polynômes  :

est un ensemble algébrique affine.

En particulier si f est un polynôme est un ensemble algébrique affine.

Remarque : si on prend pour E l'ensemble vide (aucun polynôme), on obtient : et si on prend pour E l'ensemble de tous les polynômes , on obtient l'ensemble vide .

Les ensembles algébriques de vérifient les propriétés suivantes:

•  ;
•  ;

• une réunion finie d'ensembles algébriques est encore un ensemble algébrique Z(E) (prendre pour E l'ensemble des produits , avec f_i parcourant les polynômes dans E_i).;

• une intersection (éventuellement infinie) d'ensembles algébriques {Z(E_i)}_i est un ensemble algébrique Z(E) (avec ).

Il existe donc une unique topologie, appelée topologie de Zariski, sur dont les parties fermées sont les ensembles algébriques.

Les complémentaires dans des ensembles algébriques sont les parties ouvertes pour la topologie de Zariski. Un ouvert s'écrit donc sous la forme :

.

Les ouverts de la topologie de Zariski de la forme sont appelés ouverts principaux ou ouverts élémentaires.

Exemple : Si n=1, les fermés sont R et les parties finies de R. Les ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles

(R privé d'un ensemble fini).

Ce sont des réunions finies d'intervalles ouverts. La topologie est aussi appelée topologie cofinie (pour complémentaires des ensembles finis).

Dans la théorie des schémas, on adopte une définition plus abstraite : les ouverts d'une topologie de Grothendieck (par exemple la topologie étale) sont définis comme des morphismes de certaines catégories.

Espaces vectoriels de dimension finie

Un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps topologique K a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine (ayant le moins d'ouverts) qui rende continues les formes linéaires (les fonctions linéaires de E dans K). Ainsi pour , elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions (éventuellement infinies) de produits d'intervalles ouverts.

Espaces euclidiens : définition basée sur la notion de point intérieur

Si S est une partie d'un espace euclidien , on dit qu'un point x est un point intérieur de S si il existe une boule ouverte centrée en x qui est contenue dans S.

Un sous-ensemble de points U de l'espace est dit ouvert lorsque tout point p élément de U est un point intérieur.

• L'ensemble vide et l'ensemble sont des ouverts.
• La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

L'ensemble des ouverts de est appelé la topologie de .