Paramétrage
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Généralisation

L'extension à p paramètres permet de formaliser la notion de variété de dimension p tracée dans un espace de dimension n. On reprend, mutatis mutandis les définitions de la dimension 2.

  • quand l'application f a une différentielle injective (f est une immersion), on dit que la variété est immergée dans E. Ceci généralise la notion d'arc régulier, de nappe régulière. Et on peut alors définir le sous-espace tangent.
  • il faut des contraintes supplémentaires pour que cette immersion devienne un plongement, permettant de parler de sous-variété de E.

Et de la même façon, il y a une notion de changement de paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement des variétés.) par difféomorphisme qui conserve les notions d'imersion, de sous-espace tangent.

Nappes paramétrées

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Une nappe paramétrée de classe \mathcal C^k dans l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) E de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...)

  • d'un domaine U (en général supposé connexe) de ℝ2 où variera le couple de paramétres réels (t,u)
  • d'une fonction f de U dans E, de classe \mathcal C^k

Dans un repère donné de E, la fonction f a des composantes x(t,u),y(t,u),z(t,u)... Par exemple voici un paramétrage d'un cône de révolution de l'espace (parcouru plusieurs fois) : x(t,u)=u* cos (t),y(t,u)=u*sin(t),z(t,u)=u pour t,u variant dans ℝ.

Courbes tracées sur une nappe, plan tangent

Quand on se contente de faire varier un seul des deux paramètres, on obtient des arcs paramétrés tracés sur la nappe. Dans l'exemple du cône, si u varie seul avec t fixé on obtient une droite parcourue à vitesse (On distingue :) uniforme. Si t varie avec u fixé, c'est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance...).

Ces courbes permettent de définir la notion de plan tangent : on se place en (t0,u0), on regarde toutes les courbes tracées sur la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) et passant par ce point (Graphie), et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de leurs vecteurs tangents. S'ils forment un plan, c'est le plan tangent.

Une condition suffisante simple pour cela est que le point soit régulier, c'est-à-dire \frac{\partial f}{\partial t}(t_0,u_0) \hbox{ et } \frac{\partial f}{\partial u}(t_0,u_0)\neq 0 sont non colinéaires.

On peut aussi le dire sous la forme : un point est régulier quand la différentielle de f en ce point est injective.

Changement de paramètres

Le changement de paramètres sera cette fois un \mathcal C^k-difféomorphisme de U dans V autre domaine de ℝ2. La notion de respect d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) sera liée cette fois au signe du jacobien de ce difféomorphisme.

On parlera de nouveau de nappes \mathcal C^k-équivalentes quand elles se correspondent par changement de paramétrage.

Les notions de point régulier, de plan tangent, d'aire, de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) de Gauss font partie des invariants qu'on peut citer.

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