Paramétrage
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement des variétés.

C'est ainsi que pour donner corps au concept très général et très vague (Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un océan, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont générées par le vent et ont une amplitude crête-à-crête allant de quelques...) de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.), on introduit une notion plus concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine végétale (fleurs,...) d'arc paramétré. Celle-ci s'inspire directement des problèmes de cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement...).

On étudie par exemple de la succession des points de l'espace occupés par un point (Graphie) animé d'un mouvement dont on connaît la loi en fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Ainsi la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'une valeur du temps t permet la détermination de la position M(t) au temps t. En fonction des problèmes étudiés, il sera judicieux de décrire ce même mouvement en changeant de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de référence, en remplaçant par exemple le temps par la distance totale parcourue.

La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) plus complexe, mais qui peut s'étudier en ayant recours à deux paramètres simultanément : on obtient alors une nappe paramétrée, pour laquelle la donnée de u et de v détermine un point M(u,v). Si on ne fait varier qu'un des deux paramètres, l'autre restant à une valeur fixe, on obtient un arc paramétré. Une nappe paramétrée peut en fait se concevoir comme formée d'une sorte de « grillage » dont les fils sont des arcs paramétrés. Il y a également une notion de changement de paramètre pour les surfaces, mais il faut passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'un couple (u,v) de paramètres à un autre couple (u',v').

Plus généralement, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de paramètres est lié à la notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) de l'objet géométrique, généralisant le concept de dimension de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et...). La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle des paramétrages, changements de paramètres, fait intervenir le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.).

L'objectif de la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour...) est de recenser un certain nombre de notions et grandeurs qui sont invariantes par changement de paramètres. Dans le cas d'un arc paramétré, par exemple, on dira qu'une telle notion ou grandeur relève non plus seulement de l'arc paramétré mais d'un objet mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) nouveau, l'arc (ou la courbe) géométrique.

Les arcs paramétrés

Définition

Un arc paramétré de classe \mathcal C^k dans l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) E de dimension finie est la donnée

  • d'un intervalle I où variera le paramétre réel t
  • d'une fonction f de I dans E, de classe \mathcal C^k

Dans un repère donné de E, la fonction f a des composantes x(t),y(t),\ldots. Par exemple voici un paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement des variétés.) du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) unité du plan (parcouru plusieurs fois) :

\begin{cases}x(t) = \cos(t)\\y(t) = \sin(t)\end{cases} \quad t \in\R.

Dans la pratique une fonction f peut avoir pour domaine une réunion d'intervalles disjoints ; on étudiera alors séparément chacune des branches correspondantes de la courbe (cf connexité).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) différentielle on ne considère pas d'arcs qui seraient seulement continus. L'exemple de la courbe de Peano montre que leur comportement peut être très complexe.

Point de paramètre t et point géométrique, multiplicité

Il est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait possible que pour deux valeurs distinctes t et t' on ait f(t)=f(t'). On dira dans ce cas qu'on a affaire à un point multiple de l'arc. Pour gérer ce genre de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le...), il convient de distinguer :

  • le point de paramètre t, expression qui désigne la donnée conjointe de t et du point f(t) ;
  • le point géométrique correspondant qui est un point de E.
La lemniscate de Bernoulli

Ainsi dans le cas d'un point multiple, deux points de paramètres distincts ou plus coïncident avec le même point géométrique. On parle éventuellement de point double, triple, ou de multiplicité k si on connaît le nombre exact de valeurs du paramètre qui donnent ce point géométrique. Si l'arc n'a pas de point multiple (f injective), il est dit simple.

Dans le cas particulier où la fonction est périodique, on dit que la courbe est fermée. On préfèrera alors l'étudier sur une période, et parler de multiplicité des points relativement à une période. Ainsi la lemniscate (Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la...) de Bernoulli :

\begin{cases}x(t)=\frac{\sin t}{1+\cos^2 t}\\ y(t)=\frac{\sin t \cos t}{1+\cos^2 t}\end{cases}

est fermée (2π périodique) et admet l'origine pour point double (t=0,π). Les courbes fermées ont un certain nombre de propriétés intéressantes détaillées dans l'article correspondant.

Changement de paramètre

On se donne un arc de classe \mathcal C^k, sous la forme d'un intervalle I et d'une fonction f de I dans E. La trajectoire est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) f(I) des points géométriques. Mais la même trajectoire peut être parcourue de multiples façons.

Ainsi si u=\varphi(t) est une fonction d'un intervalle J dans I de classe \mathcal C^k, alors g=f\circ \varphi est lui aussi un arc \mathcal C^k. Pour parcourir la même trajectoire, et passer le même nombre de fois aux mêmes points dans le même ordre, on impose que \varphi soit une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore...) strictement monotone.

En fait il faut plus : pour assurer la compatibilité avec le calcul différentiel, on dira que g est un paramétrage admissible de l'arc si \varphi est un \mathcal C^k-difféomorphisme. Les deux arcs, avant et après reparamétrage, sont dits \mathcal C^k-équivalents. On appelle arc géométrique toute classe d'équivalence pour cette relation.

En reprenant le changement de paramétrage g=f\circ \varphi, on peut écrire la formule de dérivation des fonctions composées reliant les vecteurs dérivés des deux arcs en deux points correspondants

T_f=f'(u_0)\qquad T_g=g'(t_0)=\varphi'(t_0)f'(\varphi(t_0))

Les deux vecteurs dérivés sont colinéaires avec un rapport de colinéarité (En géométrie vectorielle, deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement s'il existe un scalaire k tel que ou .) non nul.

Exemples d'invariants

Certaines notions sont inchangées par changement de paramétrage

  • la trajectoire : l'ensemble des points parcourus est le même
  • la notion de point régulier (vecteur dérivé non nul) : deux points correspondants sont tous les deux réguliers, ou alors tous les deux des points d'arrêt (les dérivées s'annulent).
  • la notion de tangente (comme limite de sécantes), ce qui est compatible avec la propriété précédente
  • la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de l'arc entre deux points d'une part, et deux points correspondants d'autre part.

En conséquence, on dira que ces notions peuvent être étendues à l'arc géométrique.

Mais certaines propriétés font intervenir l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) de l'arc, c'est-à-dire le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de parcours. Dans ce cas il faut distinguer deux types de changements de paramètres

  • soit \varphi a une dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) strictement positive en tout point, et on dit qu'il conserve l'orientation.
  • soit \varphi a une dérivée strictement négative en tout point, et on dit qu'il renverse l'orientation.

Dans le premier cas (respect de l'orientation), le changement de paramétrage conserve d'autres notions

  • les demi-tangentes
  • l'abscisse curviligne
  • les éléments du repère de Frenet et la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :)

On peut définir la notion d'arc géométrique orienté en se limitant à des changements de paramétrages respectant l'orientation.

Paramétrer par l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) polaire

On se place dans le plan euclidien orienté ramené à un repère orthonormal. Une façon fréquente de définir les courbes est de donner leur équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) polaire r fonction de θ : r=h(θ). Il s'agit d'un cas particulier d'arc paramétré puisqu'on peut écrire x(θ)=h(θ).cos(θ),y(θ)=h(θ)sin(θ).

On peut se demander à quelle condition, pour un arc donné, on peut trouver une telle équation polaire. On se contente de traiter le cas des arcs qui ne passent pas par le point O lui-même, car celui-ci apporte des difficultés supplémentaires.

Propriété : passage à une équation «polaire paramétrique»

Si (I,f) définit un arc \mathcal C^k qui ne passe jamais par O, alors il existe des fonctions r et θ, également \mathcal C^k, telles que pour tout t, f(t) a pour coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) r(t) et θ(t).

Démonstration : par application du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de relèvement (Le relèvement est la détermination de l'angle que fait, dans le plan horizontal, la ligne d'un observateur vers un objet avec celle d'une direction de référence fixe. En général, le relèvement se fait...).


Propriété : condition de passage à une équation «polaire»

Avec les mêmes hypothèses si la fonction θ est un difféomorphisme, on peut prendre θ pour paramètre et obtenir ainsi une véritable équation polaire.

Page générée en 0.092 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique