Temps d'arrêt - Définition

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- Définitions - Notations - Interprétation - Exemples et contrexemples - Propriétés

Définitions

Définition — Une variable aléatoire $T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \}$ est un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si,

ou bien, de manière équivalente, si,

Notations

Soient $(X_n)_n\ge 0\$ une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ . Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté $\ X_T(\omega),\$ et est défini par

\begin{align}X_T(\omega)&=X_{T(\omega)}(\omega)\\ &=\sum_{n\ge 0}X_n(\omega)1_{T(\omega)=n}. \end{align}

Sur l'ensemble

la définition de

est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant

Soit $T \,$ un temps d'arrêt et soi $N \in \mathbb N :$
- $T \wedge N$ est la variable aléatoire définie par $(T \wedge N)(\omega)=\min(T(\omega),N)\,;$
- $T \vee N$ est la variable aléatoire définie par $(T \vee N)(\omega)=\max(T(\omega),N) \,$ .

Interprétation

Imaginons que $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ désigne ici la tribu engendrée par la suite $\scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n},\$ et que les variables aléatoires $\scriptstyle\ X_k\$ représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états $\scriptstyle\ E\$ fini ou dénombrable, une partie $\scriptstyle\ A\subset \Omega\$ appartient à $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ si et seulement si il existe $\scriptstyle\ B\subset E^{n+1}\$ tel que

Supposons que $\scriptstyle\ T\$ représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : $\scriptstyle\ T\$ est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout $\scriptstyle\ n\$ il existe un sous ensemble $\scriptstyle\ B_n\subset E^{n+1}\$ tel que :

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Exemples et contrexemples

Considérons une suite $\scriptstyle\ X=(X_k)_{k\ge 0}\$ de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble $\scriptstyle\ E,\$ et notons $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ la tribu engendrée par la suite $\scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n}.\$ Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration $\scriptstyle\ (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ :

Soit $\scriptstyle\ j\$ un élément de $\scriptstyle\ E\$ ; on appelle instant de premier retour en $\scriptstyle\ j,\$ et on note $\scriptstyle\ R_j,\$ la variable aléatoire définie ci-dessous :

$R_j = \left\{ \begin{array}{lll} \inf\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\} \neq\emptyset,\\ +\infty& &\textrm{sinon.} \end{array} \right.$

De même pour $\scriptstyle\ C\$ une partie de $\scriptstyle\ E,\$ on appelle instant de première entrée dans $\scriptstyle\ C,\$ et on note $\scriptstyle\ T_C,\$ la variable aléatoire ci-dessous définie :

L'instant de $\scriptstyle\ k$ -ème retour en $\scriptstyle\ i,\$ noté $\scriptstyle\ R^{(k)}_i\$ et défini par récurrence par :

$R^{(k)}_i = \left\{ \begin{array}{lll} \inf\left\{n > R^{(k-1)}_i\,\vert\,X_n = i\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > R^{(k)}_i\,\vert\,X_n = i\right\} \neq\emptyset,\\ +\infty& &\textrm{sinon.} \end{array} \right.,$

ou encore l'instant de

-ème entrée dans

sont des t.a..

Pour $\scriptstyle\ i\$ et $\scriptstyle\ j\$ dans $\scriptstyle\ E,\$ on pose $\scriptstyle\ T = \inf\left\{n \ge 0\,\vert\,X_n = i \text{ et } X_{n+1} = j\right\}.\$ On peut montrer que $\scriptstyle\ T \$ n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, $\scriptstyle\ T + 1\$ est un temps d'arrêt.

Propriétés

Propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt, soit $N\in \mathbb N$ . Alors $S:= T \wedge N,\ S^{\prime}:=T \vee N\$ et $\ S^{\prime\prime}:=T+N\$ sont des temps d'arrêt.

On ne démontrera que le premier point, les deux autres étant semblables :

Propriété — De même, si $S\ et \ T$ sont des temps d'arrêts, alors $S\wedge T$ en est un.

Définition et propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt et $A \in \mathcal{F}_\infty\ :\ A\,$ est appelé évènement antérieur à $T\,$ si:

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de $\mathcal{F}_\infty$ appelée tribu antérieure à $T\,$ et notée $\mathcal{F}_T.$

$\mathcal{F}_T$ contient $\Omega \,$
$\mathcal{F}_T$ est stable par réunion dénombrable
Soit $n\in \mathbb N$ . On a $A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n\ et \ (T=n) \in \mathcal{F}_n.\$ D'où

Proposition — Soient $S\,$ et $T\,$ deux temps d'arrêts tels que $S\le T$ p.s.. On a alors $\mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T$ .

Soit $A \in \mathcal{F}_S$ , c’est-à-dire $\forall n\in \mathbb N\ ,\ A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ . Comme de plus $S\le T\,$ p.s., $(T\le n)\subset (S\le n)$ . Par suite,

Or $A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ et $(T\le n)\in \mathcal{F}_n$ car $T\,$ est un temps d'arrêt. Donc

Lemme — Soit $Z\,$ une variable aléatoire $\mathcal{F}_\infty$ -mesurable. $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable ssi $\forall n\ ,\ 1_{(T=n)}\times Z$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$\Rightarrow$ :

$Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable. $(1_{(T=n)}\times Z)^{-1}(x)=Z^{-1}(x) \cap (T=n)$ avec $Z^{-1}(x)\in \mathcal{F}_T.$

Or $\mathcal{F}_T = \{ A \in \mathcal{F}_\infty / \forall n \ A\cap (T=n)\in \mathcal{F}_n \}.$

Donc $Z^{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.$

Finalement $1_{(T=n)}\times Z\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$\Leftarrow$ :

$(1_{(T=n)}*Z)^{-1}(x) = Z^{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n$

avec de plus $Z^{-1}(x) \in \mathcal{F}_\infty$ . D'où $Z^{-1}(x)\in \mathcal{F}_T$ (d'après la définition de $\mathcal{F}_T$ ). Donc $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

Proposition — $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

\begin{align} X_T&=\sum_n 1_{(T=n)}X_T + 1_{(T=\infty)}X_\infty \\ &=\sum_n 1_{(T=n)}X_n + 1_{(T=\infty)}X_\infty\end{align}

avec $1_{(T=n)}\ et\ X_n$ qui sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable, d'où $X_T\times 1_{(T=n)}\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable. D'après le lemme précédent, $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

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