Temps d'arrêt - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Définitions - Notations - Interprétation - Exemples et contrexemples - Propriétés

Définitions

Définition — Une variable aléatoire $T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \}$ est un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si,

ou bien, de manière équivalente, si,

Notations

Soient $(X_n)_n\ge 0\$ une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ . Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté $\ X_T(\omega),\$ et est défini par

\begin{align}X_T(\omega)&=X_{T(\omega)}(\omega)\\ &=\sum_{n\ge 0}X_n(\omega)1_{T(\omega)=n}. \end{align}

Sur l'ensemble

la définition de

est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant

Soit $T \,$ un temps d'arrêt et soi $N \in \mathbb N :$
- $T \wedge N$ est la variable aléatoire définie par $(T \wedge N)(\omega)=\min(T(\omega),N)\,;$
- $T \vee N$ est la variable aléatoire définie par $(T \vee N)(\omega)=\max(T(\omega),N) \,$ .

Interprétation

Imaginons que $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ désigne ici la tribu engendrée par la suite $\scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n},\$ et que les variables aléatoires $\scriptstyle\ X_k\$ représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états $\scriptstyle\ E\$ fini ou dénombrable, une partie $\scriptstyle\ A\subset \Omega\$ appartient à $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ si et seulement si il existe $\scriptstyle\ B\subset E^{n+1}\$ tel que

Supposons que $\scriptstyle\ T\$ représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : $\scriptstyle\ T\$ est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout $\scriptstyle\ n\$ il existe un sous ensemble $\scriptstyle\ B_n\subset E^{n+1}\$ tel que :

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Exemples et contrexemples

Considérons une suite $\scriptstyle\ X=(X_k)_{k\ge 0}\$ de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble $\scriptstyle\ E,\$ et notons $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ la tribu engendrée par la suite $\scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n}.\$ Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration $\scriptstyle\ (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ :

Soit $\scriptstyle\ j\$ un élément de $\scriptstyle\ E\$ ; on appelle instant de premier retour en $\scriptstyle\ j,\$ et on note $\scriptstyle\ R_j,\$ la variable aléatoire définie ci-dessous :

$R_j = \left\{ \begin{array}{lll} \inf\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\} \neq\emptyset,\\ +\infty& &\textrm{sinon.} \end{array} \right.$

De même pour $\scriptstyle\ C\$ une partie de $\scriptstyle\ E,\$ on appelle instant de première entrée dans $\scriptstyle\ C,\$ et on note $\scriptstyle\ T_C,\$ la variable aléatoire ci-dessous définie :

L'instant de $\scriptstyle\ k$ -ème retour en $\scriptstyle\ i,\$ noté $\scriptstyle\ R^{(k)}_i\$ et défini par récurrence par :

$R^{(k)}_i = \left\{ \begin{array}{lll} \inf\left\{n > R^{(k-1)}_i\,\vert\,X_n = i\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > R^{(k)}_i\,\vert\,X_n = i\right\} \neq\emptyset,\\ +\infty& &\textrm{sinon.} \end{array} \right.,$

ou encore l'instant de

-ème entrée dans

sont des t.a..

Pour $\scriptstyle\ i\$ et $\scriptstyle\ j\$ dans $\scriptstyle\ E,\$ on pose $\scriptstyle\ T = \inf\left\{n \ge 0\,\vert\,X_n = i \text{ et } X_{n+1} = j\right\}.\$ On peut montrer que $\scriptstyle\ T \$ n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, $\scriptstyle\ T + 1\$ est un temps d'arrêt.

Propriétés

Propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt, soit $N\in \mathbb N$ . Alors $S:= T \wedge N,\ S^{\prime}:=T \vee N\$ et $\ S^{\prime\prime}:=T+N\$ sont des temps d'arrêt.

On ne démontrera que le premier point, les deux autres étant semblables :

Propriété — De même, si $S\ et \ T$ sont des temps d'arrêts, alors $S\wedge T$ en est un.

Définition et propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt et $A \in \mathcal{F}_\infty\ :\ A\,$ est appelé évènement antérieur à $T\,$ si:

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de $\mathcal{F}_\infty$ appelée tribu antérieure à $T\,$ et notée $\mathcal{F}_T.$

$\mathcal{F}_T$ contient $\Omega \,$
$\mathcal{F}_T$ est stable par réunion dénombrable
Soit $n\in \mathbb N$ . On a $A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n\ et \ (T=n) \in \mathcal{F}_n.\$ D'où

Proposition — Soient $S\,$ et $T\,$ deux temps d'arrêts tels que $S\le T$ p.s.. On a alors $\mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T$ .

Soit $A \in \mathcal{F}_S$ , c’est-à-dire $\forall n\in \mathbb N\ ,\ A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ . Comme de plus $S\le T\,$ p.s., $(T\le n)\subset (S\le n)$ . Par suite,

Or $A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ et $(T\le n)\in \mathcal{F}_n$ car $T\,$ est un temps d'arrêt. Donc

Lemme — Soit $Z\,$ une variable aléatoire $\mathcal{F}_\infty$ -mesurable. $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable ssi $\forall n\ ,\ 1_{(T=n)}\times Z$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$\Rightarrow$ :

$Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable. $(1_{(T=n)}\times Z)^{-1}(x)=Z^{-1}(x) \cap (T=n)$ avec $Z^{-1}(x)\in \mathcal{F}_T.$

Or $\mathcal{F}_T = \{ A \in \mathcal{F}_\infty / \forall n \ A\cap (T=n)\in \mathcal{F}_n \}.$

Donc $Z^{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.$

Finalement $1_{(T=n)}\times Z\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$\Leftarrow$ :

$(1_{(T=n)}*Z)^{-1}(x) = Z^{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n$

avec de plus $Z^{-1}(x) \in \mathcal{F}_\infty$ . D'où $Z^{-1}(x)\in \mathcal{F}_T$ (d'après la définition de $\mathcal{F}_T$ ). Donc $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

Proposition — $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

\begin{align} X_T&=\sum_n 1_{(T=n)}X_T + 1_{(T=\infty)}X_\infty \\ &=\sum_n 1_{(T=n)}X_n + 1_{(T=\infty)}X_\infty\end{align}

avec $1_{(T=n)}\ et\ X_n$ qui sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable, d'où $X_T\times 1_{(T=n)}\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable. D'après le lemme précédent, $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

- Définitions - Notations - Interprétation - Exemples et contrexemples - Propriétés

Une éruption volcanique en 2018 responsable d'une explosion de vie 🌋

Un système d'exploitation pour les ordinateurs quantiques voit le jour 🖥️

Des singularités temporelles dans l'Univers ? 🕰️

Des fossiles de dinosaures mieux datés 🦖

Une gigantesque muraille de 10 milliards d'années-lumière dans l'Univers 🔭

Benchmark: les processeurs quantiques sous la loupe, quels sont les meilleurs ? 🏆

Découverte d'une "fourmi de l'enfer" vieille de 113 millions d'années 🐜

Le rôle méconnu de la décharge dans l'usure des batteries 🔋

La fonte des glaces déplace les pôles: quelles conséquences ? 🌍

L'appareil photo de votre smartphone peut détecter l'antimatière 📱

Cette étoile-zombie peut déformer les atomes à distance, et elle fonce dans notre galaxie ⭐

Un mosasaure géant découvert dans le Mississippi 🦕

Problème, les galaxies meurent plus tôt que prévu 🌀

Ce lien entre cannabis et troubles psychotiques 🧠

Une révolution dans le refroidissement des puces électroniques ? 🔥

Des parasites sous-marins filmés en train de vampiriser un poisson des abysses 👀

Lucy survole un astéroïde en forme de cacahuète 🚀

Découverte du fossile d'un dinosaure géant méconnu 🦕

Mars avait-elle un champ magnétique unilatéral ? 🔍

Des chimpanzés surpris à sociabiliser avec de l'alcool 🍇

Découverte macabre: ce gladiateur a été tué par un lion il y a 1 800 ans... en Grande-Bretagne 🦁

L'électroluminescence du graphène, une découverte inattendue ! 💡

Cet objet métallique n'a pas été fabriqué sur Terre 🔧

Cette innovation permet aux voitures électriques de charger 6 fois plus vite par grand froid ⚡

Cette super-Terre brûle les attentes des astronomes 🔥

Découverte exceptionnelle de fossiles d'amphibiens géants 🐸

Voici ce qui a causé les toutes premières inégalités de richesse 💰

Quelle est cette zone étrange dans l'Atlantique Nord ? 🌊

Cette planète orbite à angle droit autour de deux étoiles, une première ! 🔭

Des cellules solaires flexibles battent des records d'efficacité ⚡

Ce dispositif reproduit les trous noirs et trous blancs en laboratoire 🌀

Record établi pour un transistor en diamant 💎

Les sursauts radio rapides trahissent enfin leur origine cosmique 📡

Ces biomarqueurs sanguins prédisent la démence 10 ans à l'avance 🧠

Découverte majeure: des médicaments 23 fois plus efficaces contre le cancer 💊

Les oscillations collectives des foules humaines denses 🔁

Une forme inconnue de la matière détectée au LHC ? ⚛️

Le sel, un facteur méconnu de l'obésité ? 🧂

L'Univers en rotation, une réponse élégante à ce problème astrophysique majeur 🌀

Découverte tectonique majeure sous les Petites Antilles 🌍

Peut-on geler en chauffant ? ❄️

Une peau électronique pour doter les robots du sens du toucher 👌

Invention d'un bois semi-transparent avec une technique...surprenante ! 🌳

Le cancer inscrit dans nos gènes dès la naissance ? 🧬

Des supernovae à l'origine de deux extinctions massives sur Terre ? 💥

Le passé verdoyant du plus grand désert du monde 🐪

Après les campagnes antivaccins, la rougeole revient en force aux États-Unis 😷

Des puces quantiques plus proches que jamais ⚡

Pourrons-nous bientôt communiquer avec les dauphins grâce à l'IA ? 🐬

En déplaçant deux atomes, des chercheurs transforment le LSD en médicament surpuissant 💊

Page générée en 0.153 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise