Tenseur métrique - Définition et Explications

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Tenseur

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Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) tensorielle
Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) tensoriel
Espace tensoriel

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

Convention d'Einstein
Tenseur métrique (Tenseur)
Tenseur (Tenseur) énergie-impulsion
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... de Ricci
... d'Einstein
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En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) et plus particulièrement en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...), le tenseur métrique est un tenseur de rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...). Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice, généralement notée G. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

Définition

Le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) E de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie:

 \begin{align} g : &E\times E &\to &\ \R \\     &(u,v) &\to &\ g(u,v) \end{align}

g est :

  • symétrique : \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in E \quad g(\mathbf{v},\mathbf{u}) = g(\mathbf{u},\mathbf{v})
  • non dégénérée : \left[\forall \mathbf{v} \in E,  g(\mathbf{u},\mathbf{v})=0 \right] \Rightarrow \mathbf{u}=0
  • définie positive: \forall x \in E \quad g(x,x) \ge 0 (exception pour les pseudo-métriques, voir ci-dessous)

On note le produit scalaire de 2 vecteurs uiei et vjej de la manière suivante:

 g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = g(u^i \mathbf{e_i}, v^j \mathbf{e_j}) = u^i v^j g(\mathbf{e_i}, \mathbf{e_j}) = u^i v^j g_{ij}

La notation gij est conventionnellement utilisée pour les composantes du tenseur métrique.

Coordonnées rectilignes

Nous supposons ici une base quelconque, (\vec{a},\vec{b},\vec{c}), Le tenseur métrique se calcule alors simplement:

Rectiligne c.png

G = \begin{bmatrix} \vec{a}.\vec{a} & \vec{a}.\vec{b} & \vec{a}.\vec{c} \\ \vec{b}.\vec{a} & \vec{b}.\vec{b} & \vec{b}.\vec{c} \\ \vec{c}.\vec{a} & \vec{c}.\vec{b} & \vec{c}.\vec{c}  \end{bmatrix}

\vec{a}.\vec{b} désigne le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) de \vec{a} et de \vec{b} exprimé dans un repère orthonormé cartésien.

Pseudo-métrique

Lorsque g(x,x) n'est pas toujours positif, on peut parler de pseudo-métrique, c'est par exemple le cas de l'espace de Minkowski (Un espace de Minkowski, du nom de son inventeur Hermann Minkowski, est un espace affine...). Dans ce cadre, le produit scalaire g(x,x) (que l'on note η(x,x)) représente la pseudo-norme au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...). On note s la distance minkowskienne entre deux points P1 et P2 définie par:

s^2=\eta\bigl(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_2}\bigr) = \eta_{\mu\nu}(x_2^\mu-x^\mu_1)(x_2^\nu-x_1^\nu)

avec, pour l'espace de Minkowski, comme matrice du produit scalaire :

 (\eta_{\mu\nu})= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

et ds2 la distance minkowskienne au carré entre deux points infiniment voisins :

\mathrm ds^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm dx^\mu\,\mathrm dx^\nu

Pour un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) x d'un tel espace, nous avons les définitions suivantes :

 \begin{cases} \eta(x,x)>0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ orient\acute e\ dans\ l'espace.}\\  \eta(x,x)=0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ isotrope.}\\ \eta(x,x)<0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ orient\acute{e}\ dans\ le\ temps.}\\ \end{cases}

Une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) de cet espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) décrite par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) (x0(τ),x1(τ),x2(τ),x3(τ))τ est un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...), admet comme vecteur tangent dxμ / dτ. Le signe de la pseudo-norme de ce vecteur est idépendant du choix de τ et nous avons les définitions suivantes (cf. relativité restreinte) :

 \begin{cases} \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})>0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \text{est du genre espace.}\\  \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})=0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \mathrm{est\ du\ genre\ lumi\grave{e}re.}\\ \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})<0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \text{est du genre temps.} \end{cases}

Montée et descente d'indices

Le tenseur métrique sert à monter ou à descendre les indices des coordonnées de vecteurs / formes différentielles / tenseurs. Prenons le cas du vecteur  \mathbf {x} = x^\alpha \mathbf {e_\alpha} . Les produits x_{\beta}= g_{\alpha \beta} x^\alpha\ correspondent à la forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications...)  g(\mathbf {x}, .) , un élément de l'espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un...), qui à un vecteur  \mathbf{y} associe le réel  g(\mathbf {x}, \mathbf {y}) . Ils la définissent à travers ses coordonnées dans la base duale:  g(\mathbf {x}, .)=x_{\beta} \mathbf {e^{\beta}}\mathbf {e^{\beta}}=\mathbf {e^{\star}_\beta} désignent les vecteurs de la base duale. Autrement dit le tenseur métrique a abaissé la position des indices de xα en xβ transformant le vecteur  x^\alpha\mathbf {e_\alpha} en le covecteur  x_\beta \mathbf {e^{\beta}}.

Cas des coordonnées curvilignes

Coordonnées curvilignes

Lorsqu'il s'agit d'un système de coordonnées curvilignes, nous ne pouvons pas définir de base à ce repère à proprement parler. Les vecteurs de cette base ei varient en fonction des coordonnées xi d'un point (Graphie). Il n'est donc pas possible de calculer un tenseur métrique constant. Cependant la matrice jacobienne J fournit une approximation linéaire (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0,...) de ce type de transformation au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) d'un point, la base locale, (e1,e2), étant simplement les vecteurs tangents aux axes de coordonnées. Il suffit donc de calculer les n2 produits scalaires possibles de ces vecteurs tangents (composantes contravariantes de la jacobienne) pour obtenir le tenseur métrique G. Ceci revient à calculer JTJ.

G devient alors un champ tensoriel. Le « champ de base » ainsi utilisé repère des vecteurs infinitésimaux, ceci se traduisant par un « produit scalaire infinitésimal ». On adopte alors l'écriture suivante: ds2 = gijdxidxj (où ds désigne la variation de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) et non pas celle du produit scalaire comme on pourrait le penser). La quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) s est aussi appelé abscisse curviligne.

Détails de calcul

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel gij = δij (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer la matrice jacobienne de ces équations. Le tenseur métrique est le produit de sa transposée par elle-même:

G = J^T\;J

En appliquant la même opération à partir des équations donnant la relation entre l'espace cartésien et l'espace considéré, on obtient alors l'expression contravariante du tenseur. On peut alors retrouver son expression covariante en sachant que g^{\mu \nu}\cdot g_{\nu \rho}= \delta^{\nu}_{\rho} , où gμν est l'expression contravariante du tenseur, et gνρ son expression covariante.

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