Dans cette partie, on considère un polynôme à coefficients complexes dont on cherche les racines complexes.
Une première estimation
La démonstration du théorème de D'Alemebrt-Gauss par le théorème de Liouville n'apporte aucune information sur la position des racines complexes. Une seconde méthode est donnée par le théorème de Rouché:
« Soient f et g deux fonctions holomorphes dans un contour G fermé ne se recoupant pas et telles que| f(z) − g(z) | < | f(z) | + | g(z) |pour tout point z de G. Alors f et g ont le même nombre de zéros comptés avec leurs multiplicités. »
On en déduit en particulier le théorème suivant, plus précis que la conjecture de Girard:
« Soit P un polynôme de degré n normalisé (le coefficient de zn est 1) et A le plus grand module des autres coefficients de P. Alors il y a exactement n racines dans le cercle de centre 0 et de rayon 1+A. »
La démonstration consiste à appliquer le théorème de Rouché à P et au polynôme zn qui admet 0 comme racine de multiplicité n. L'inégalité nécessaire se démontre pour | z | = 1 + A:
d'où le résultat.
Corollaire:
« Soit P un polynôme de degré n s'écrivant
et soient les deux nombres
Les racines de P sont dans la couronne
»
Le théorème de Eneström-Kakeya
La relation entre les coefficients et les racines est très compliquée. Aussi faut-il s'attendre à obtenir des résultats intéressants avec des hypothèses plus fortes. C'est le cas du théorème suivant. Le théorème de Kakeya est un cas particulier d'un corollaire donné en 1893 par Eneström.
« Soit
un polynôme à coefficients réels tels que
alors les racines complexes sont en dehors du disque unité. »
Le théorème de Cauchy
Voisin de l'estimation obtenue par le théorème de Rouché, mais antérieur à ce dernier, ce théorème établit un lien entre le cas des polynômes à coefficients complexes et le cas des polynômes à coefficients réels.
« Soit P un polynôme de degré n s'écrivant
et Q le polynôme associé s'écrivant
Soit r l'unique racine positive de l'équationQ(z) = 0.
Alors toutes les racines de P sont de modules inférieurs ou égaux à r. »
Ce théorème est lui-même une version complexe de l'estimation de Lagrange, un résultat qui sera donné dans le cas réel.
Le théorème de Cohn-Berwald
Alors que le théorème de Cauchy ne donne qu'une majoration, le théorème suivant donne la minoration correspondante, tout en améliorant le résultat de Cauchy.
Considérant le théorème de Cauchy et utilisant un théorème de Grace, Cohn montra tout d'abord qu'au moins une des racines de P se trouvait de module supérieur à
. Ce résultat a été amélioré par Berwald.
« Dans les notations du théorème de Cauchy, soient
les racines complexes de P. On a l'inégalité
»
Le théorème de Sturm
article détaillé Théorème de Sturm
Le théorème de Schur
Le théorème de Schur donne directement un majorant du nombre des racines positives.
Théorème de Schur:
« Si
est un polynôme à coefficients réels qui admet m racines réelles positives, alors
»
Théorème de Gauss-Lucas
Théorème de Gauss-Lucas
Comme cas particulier, on a le théorème suivant, de Laguerre:
« Si
est un polynôme unitaire de degré n, ayant n racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle [a,b] où a et b sont les racines du polynôme
»
![r(\sqrt[n]{2}-1)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/ae7636fb730f2a5230ade84ebe4f00fc_c3e02746255f249eb07b9110eba61a7c.png)
![r(\sqrt[n]{2}-1)\le \frac{|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|}{n} \le r.](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/7/7ebab4c1c27a6d76cec23a5d559333a3_02a6e3dc1b27cdc1600f0868814b6457.png)
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![nx^2 + 2a_{n-1}x+\left[2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^2\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/4bf5db4a63c725be78f02137ef771f89_87f6bde0cce2e4a70b90aa0c4e7672c5.png)
![nx^2 + 2a_{n-1}x+\left[2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^2\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4bf5db4a63c725be78f02137ef771f89_87f6bde0cce2e4a70b90aa0c4e7672c5.png)
