Trapézoèdre - Définition

Introduction

Set of trapezohedra
Faces	2n cerfs-volants
Arêtes	4n
Sommets	2n+2
Configuration des faces	V3.3.3.n
Groupe de symétrie	Dnd
Polyèdre dual	antiprisme
Propriétés	convexe, de face uniforme

Le trapézoèdre ou antidiamant ou deltoèdre n-gonal est le polyèdre dual d'un antiprisme n-gonal régulier. Ses 2n faces sont des deltoïdes congrus (ou cerfs-volants). Les faces sont décalées symétriquement.

Le nom trapézoèdre est trompeur puisque les faces ne sont pas des trapèzes, mais le terme alternatif deltoèdre est quelquefois confondu avec le terme non relié deltaèdre.

La partie n-gonale du nom ne fait pas référence aux faces mais à l'arrangement des sommets autour d'un axe de symétrie. L'antiprisme dual n-gonal possède deux faces n-gonales.

Un trapézoèdre n-gonal peut être décomposé en deux pyramides n-gonales égales et un antiprisme n-gonal.

Dans les textes décrivant les habitus en minéralogie, le mot trapèzoèdre est souvent utilisé pour faire référence au polyèdre connu sous le nom d'icositétraèdre trapézoïdal.

Formes

1. Le trapèzoèdre trigonal - 6 faces (rhombiques) - dual : octaèdre
   • Un cube est un cas particulier de trapèzoèdre trigonal dont les faces sont carrées.
   • Un trapézoèdre trigonal est un cas particulier de rhomboèdre avec des faces rhombiques congrues
2. Le trapézoèdre tétragonal - 8 faces en cerf-volant - dual : antiprisme carré
3. Le trapézoèdre pentagonal - 10 faces en cerf-volant - dual : antiprisme pentagonal
4. Le trapézoèdre hexagonal - 12 faces en cerf-volant - dual : antiprisme hexagonal
5. L'trapézoèdre heptagonal - 14 faces en cerf-volant - dual : antiprisme heptagonal
6. Le trapézoèdre octagonal - 16 faces en cerf-volant - dual : antiprisme octagonal
7. Le trapézoèdre ennéagonal - 18 faces en cerf-volant - dual : antiprisme ennéagonal
8. Le trapézoèdre décagonal - 20 faces en cerf-volant - dual : antiprisme décagonal

• ...Le trapézoèdre n-gonal - 2n faces en cerf-volant - dual : antiprisme n-gonal

Dans le cas du dual d'un antiprisme régulier triangulaire, les cerfs-volants sont rhombiques, par conséquent, ces trapézoèdres sont aussi des zonoèdres. Ils sont appelés rhomboèdre. Ce sont des cubes dimensionnés dans la direction d'une diagonale. Ce sont aussi des parallélépipèdes avec des faces rhombiques congrues.

Un cas particulier de rhomboèdre est celui dont les losanges qui forment les faces ont des angles de 60° et 120°. Il peut être décomposé en deux tétraèdres réguliers égaux et un octaèdre régulier. Puisque les parallélépipèdes peuvent remplir l'espace, comme peut le faire un combinaison d'un tétraèdre régulier et d'un octaèdre régulier.

Symétrie

Le groupe de symétrie d'un trapézoèdre n-gonal est D_nd d'ordre 4n, excepté dans le cas d'un cube, qui possède un groupe de symétrie plus large O_d d'ordre 48, qui a quatre versions de D_3d comme sous-groupes.

Le groupe de rotation est D_n d'ordre 2n, excepté dans le cas d'un cube, qui possède le groupe de rotation plus large O d'ordre 24, qui a quatre versions de D₃ comme sous-groupes.

Exemples

• Les arrangements cristallins des atomes peuvent se répéter dans l'espace avec des cellules trapèzoèdriques.
• Le trapézoèdre pentagonal est le premier solide différent des solides de Platon utilisé comme un dé dans les jeux de rôle tels que Donjons et Dragons. Ayant 10 côtés, il peut être utilisé en répétition pour générer n'importe quelle probabilité discrète désirée de base décimale.