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Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu \mathfrak{E} et \mathfrak{F}.

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de (E,\mathfrak{E}) dans (F,\mathfrak{F}) si l'image réciproque de la tribu \mathfrak{F} est une sous-tribu de \mathfrak{E}.

Applications à valeurs réelles

Il est à noter que si F est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des réels et si \mathfrak{F} est la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.), on dira simplement que f est une fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) sur (E,\mathfrak{E}).

Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ouvert est dans \mathfrak{E}.

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) et (f_n) \; une suite de fonctions mesurable de E dans \mathbb{R}_+ alors la fonction f \; définie par f = \sup_n f_n l'est également.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...): on considère pour cela l'image réciproque de ]a,+\infty[ _;, que l'on peut écrire

\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x\in X, f_n(x)>a\}

on obtient une réunion dénombrable d'éléments de \mathfrak{E} donc un ensemble mesurable.

Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi...)

Si les fonctions fn de X dans \mathbb{R}_+ sont toutes mesurables, la fonction inf fn l'est également, ainsi que les fonctions liminf fn, limsup fn.

En particulier, si la limite existe elle est mesurable.

Les démonstrations sont du même type.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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