Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et
.
Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de dans
si l'image réciproque de la tribu
est une sous-tribu de
.
Il est à noter que si F est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des réels et si est la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.), on dira simplement que f est une fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) sur
.
Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ouvert est dans .
Soit E un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) et une suite de fonctions mesurable de E dans
alors la fonction
définie par
l'est également.
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...): on considère pour cela l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de , que l'on peut écrire
on obtient une réunion dénombrable d'éléments de donc un ensemble mesurable.
Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et...)
Si les fonctions fn de X dans sont toutes mesurables, la fonction inf fn l'est également, ainsi que les fonctions liminf fn, limsup fn.
En particulier, si la limite existe elle est mesurable.
Les démonstrations sont du même type.