Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de dans si l'image réciproque de la tribu est une sous-tribu de .

Applications à valeurs réelles

Il est à noter que si F est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des réels et si est la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont...), on dira simplement que f est une fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) sur .

Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ouvert est dans .

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) et une suite de fonctions mesurable de E dans alors la fonction définie par l'est également.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...): on considère pour cela l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de , que l'on peut écrire

on obtient une réunion dénombrable d'éléments de donc un ensemble mesurable.

Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat attendu a été démontré.)

Si les fonctions f_n de X dans sont toutes mesurables, la fonction inf f_n l'est également, ainsi que les fonctions liminf f_n, limsup f_n.

En particulier, si la limite existe elle est mesurable.

Les démonstrations sont du même type.