Fonction mesurable - Définition

Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de dans si l'image réciproque de la tribu est une sous-tribu de .

Applications à valeurs réelles

Il est à noter que si F est l'ensemble des réels et si est la tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur .

Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans .

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable et une suite de fonctions mesurable de E dans alors la fonction définie par l'est également.

Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de , que l'on peut écrire

a\}" >

on obtient une réunion dénombrable d'éléments de donc un ensemble mesurable.

Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD

Si les fonctions f_n de X dans sont toutes mesurables, la fonction inf f_n l'est également, ainsi que les fonctions liminf f_n, limsup f_n.

En particulier, si la limite existe elle est mesurable.

Les démonstrations sont du même type.