Entortillement
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L'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace \mathbf{R}^3. On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom l'indique, ce nombre décrit à quel point la courbe est entortillée, c'est à dire le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri...) de son chemin dans l'espace.

Formule générale

L'entortillement (L'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace . On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom...) d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) L et dont les points sont repérés par \mathbf{r}(s), avec s variant de 0 à L et \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(L) s'obtient par la formule

Ent=\frac{1}{4\pi}\int_0^L \mathrm{d}s \; \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s) \cdot           \int_0^L \mathrm{d}s'\; \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s') \times                    \frac{\mathbf{r}(s')-\mathbf{r}(s)}{\|\mathbf{r}(s')-\mathbf{r}(s)\|^3}.      \qquad(1)

Cas d'une courbe aplatie

L'entortillement décrit la déformation de la courbe par rapport au cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) ou au nœud obtenu en aplatissant la courbe. Ainsi un cercle plat a pour entortillement zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.). Une courbe plate est représentée par un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous les aspects des...) de lien, où à chaque croisement le brin passant dessous est coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont fait certains constructeurs américains) et possédant deux,...) juste autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) du brin passant dessus pout garder en mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) les positions relatives, comme sur le dessin ci-dessous. On choisit arbitrairement une orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;), c'est-à-dire un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de parcours du diagramme obtenu (ce choix ne change pas les résultats). À partir de cette orientation on obtient l'entortillement d'une courbe aplatie, qui est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier, à l'aide de son diagramme. L'entortillement est calculé en ajoutant, pour chaque croisement, + 1 ou − 1 selon la règle

Image:knot-crossing-plus.png Image:knot-crossing-minus.png
+ 1 − 1

Le résultat est indépendant de l'orientation choisie pour la courbe. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie.

Autre formule

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'entortillement d'un lien permet d'exprimer une formule équivalente à la formule (1). On note \hat u un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) unitaire de \mathbf{R}^3 et on projette la courbe parallèlement à cette direction sur un plan. On calcule alors l'entortillement directionel ent(\hat u) en procédant comme au paragraphe précédent avec le diagramme obtenu. L'entortillement de la courbe tridimensionelle est la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble...) selon toutes les directions de l'espace de l'entortillement directionnel[1].

Ent=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathcal S^2}ent(\hat u)\,\mathrm d\hat u\qquad(2)
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