Inégalité de Bernoulli - Définition

Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

1+nx~" />

pour tout entier naturel n , et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à -1.

Démonstration

Soit tel que -1~" /> et tel que et on cherche à montrer que 1+mx" />

On va définir la fonction f définie sur par :

On va montrer que la fonction f > 0 sur l'intervalle
La dérivée de la fonction sur le domaine considéré est :

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

pour et

0" /> pour

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle et strictement croissante sur l'intervalle .
Pour , on a
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle .

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

1) Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

1+2x~" />

ou encore :

1+2x~" />

Donc la propriété est vraie au rang 2.

2) Hérédité :

Hypothèse de récurrence : 1+kx~" />

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

1+kx~" />

(1+kx)(1+x)~" /> en effet on ne change pas le sens de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0

1+x+kx+kx^2~" />

Or

1+(k+1)x~" />

D'où

1+(k+1)x~" />

3) Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.