Fonction W de Lambert
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La fonction W de Lambert, nommée ainsi par Johann Heinrich Lambert, est aussi appelée la fonction Oméga, et est la fonction réciproque de f définie par :

pour tout nombre complexe w, f(w) = w e w.

Ce qui implique que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe z, nous avons :

W(z) eW(z) = z

Puisque la fonction f n'est pas injective, la fonction W est multiforme.

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ -1/e (ce qui exige w ≥ -1) alors il existe une fonction et une seule W0 définie, dont la représentation graphique figure ci-dessous.

Les valeurs remarquables sont :

  • W0(0) = 0
  • W0(-1/e) = -1
  • W0(1) = Ω
Image:lambertw.png

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires. Elle est utile en combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.), par exemple dans l'énumération des arbres. Elle peut être utilisée pour résoudre diverses équations qui comportent des exponentielles et apparaît aussi dans les solutions d'équations différentielles à temps-retardés, telles que y'(t) = a y(t - 1).

Par différenciation, on peut montrer que W satisfait l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste...) différentielle :

pour z ≠ -1/e,    z (1 + W) dW/dz   =   W .

La série de Taylor de W0 au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point....) de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) d'inversion de Lagrange et est donné par

W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty  \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n

Le rayon de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) est égal à 1/e. Celle-ci peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]-∞, -1/e]; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction Lambert W.

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie « conduire » - est :) générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à x e x. À ce point (Graphie) la fonction W nous fournit la solution. Par exemple, pour résoudre l'équation 2t = 5t, nous divisons par 2 t pour obtenir 1 = 5t e-ln(2)t, nous divisons alors par 5 et multiplions par -ln(2) pour obtenir -ln(2)/5 = -ln(2)t e-ln(2)t. Maintenant l'application de la fonction W donne -ln(2)t = W(-ln(2)/5), i.e. t = -W(-ln(2)/5) /ln(2).

La fonction W, et beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) w = W(x), i.e. x = w ew:

\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right)  + C

Diverses formules

\int_{0}^{\pi} W( 2cot^2(x) ) sec^2(x) dx = 4\sqrt{\pi} (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

Conséquences :

\int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{\sqrt{x e^x}} dx = 2\sqrt{2\pi}
\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)dx}{x\sqrt{x}} = 2\sqrt{2\pi}
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