Fonctions paires et impaires
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Une fonction f : E\to F, avec E\subseteq\R et F\subseteq\R,  est  :

  • paire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(x) = f(-x). Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.
  • impaire si et seulement si pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(-x) = -f(x). Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...).

Les appellations "paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :)" et "impaire" proviennent du fait que toutes les fonctions x\longmapsto x^k avec k pair sont paires et toutes les fonctions x\longmapsto x^k avec k impair sont impaires.

Utilisation

La parité des fonctions sert par exemple à n'étudier la fonction que sur la moitié de son intervalle de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...), l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire définie en 0 est nulle en ce point (Graphie).

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont...) en fonctions paires et impaires (Une fonction , avec et ,  est  :)

Si E est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du...) de \R symétrique par rapport à 0 (c'est à dire que si x appartient à E alors - x appartient à E), toute fonction f : E\to F peut se décomposer comme une somme unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par conséquent, on peut parler de la partie paire de f et de la partie impaire de f. Par exemple, ex se décompose comme la somme unique de \operatorname{ch} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} et de \operatorname{sh} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.


Représentation graphique

Soit f une fonction définie sur E et (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthogonal

  • f est une fonction paire si et seulement si (Cf) est symétrique par rapport à l'axe (Oy)
  • f est une fonction impaire si et seulement si (Cf) est symétrique par rapport au point O

Mais, une fonction dont la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas forcément paire ou impaire : il est nécessaire que le centre soit O ou l'axe soit (Oy).

Quelques propriétés

  • La seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle (fonction constante égale à 0).
  • En général, la somme d'une fonction paire et une fonction impaire n'est ni paire ni impaire ; ex : x + x2.
  • La somme de deux fonctions paires donne une fonction paire, et toute constante multiple d'une fonction paire est paire.
  • La somme de deux fonctions impaires donne une fonction impaire, et toute constante multiple d'une fonction impaire est impaire.
  • Le produit de deux fonctions paires donne une fonction paire.
  • Le produit de deux fonctions impaires donne aussi une fonction paire.
  • Le produit d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
  • Le quotient de deux fonctions paires donne une fonction paire.
  • Le quotient de deux fonctions impaires donne une fonction impaire.
  • Le quotient d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
  • La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...) d'une fonction paire est une fonction impaire.
  • La dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
  • Une primitive d'une fonction impaire n'est pas forcément paire mais si E est un intervalle, toute primitive d'une fonction impaire sur E est une fonction paire.
  • Une primitive d'une fonction paire n'est pas forcément impaire mais si E est un intervalle, la primitive d'une fonction paire sur E qui s'annule en 0 est une fonction impaire.
  • La composée de deux fonctions impaires donne une fonction impaire.
  • La composée f o g d'une fonction quelconque f avec une fonction paire g donne une fonction paire.
  • La composée g o f d'une fonction paire g avec une fonction impaire f donne une fonction paire.
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