Double produit de quaternions
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Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :

P = Q_1\cdot Q_2\cdot Q_3\,,

dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes Q_1\mbox{ et }Q_3\, sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type Q = (a\ ,\ \vec V)\, pour représenter les 3 quaternions :

P = Q_1\cdot Q \cdot Q^{-1}_1 = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)^{-1}
P = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|^2} = \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|}\,

.

Comme les quaternions \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\vec V_1) et son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,-\vec V_1) sont unitaires, on peut les écrire sous la forme Q_1 = \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi\ \vec U \right ) et Q^{-1}_1 = \left (cos \varphi\ , -\sin \varphi\ \vec U \right )\,, d'où l'écriture :

P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)


En tenant compte de la distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) du produit, on peut écrire :

P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)

Ainsi le quaternion (Les quaternions, notés , sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombres réels aux...) P\, se décompose en P_1 + P_2\, avec :
P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) et
P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)

Comme (a\ ,\ \vec 0)\, est un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) pur, le double produit représenté par P_1\, est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0).
Par conséquent, on a :
P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\, avec P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U).

Portons donc notre attention sur le quaternion P_2\, en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
P_2 = \left[-\sin \varphi\ (\vec U\cdot \vec V), \cos \varphi\ \vec V+\sin \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\right]\cdot \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\ \vec U\right], puis :

\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix}

En éliminant le produit mixte (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est...) (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U, on obtient : P_2 = \Bigg[0 \ ,\ \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +\ \cos^2\varphi\ \vec V + 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) - sin^2\varphi\ \left[(\vec U\cdot \vec U)\ \vec V - (\vec V\cdot \vec U)\ \vec U \right]\Bigg]
puis successivement :
P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +  \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]
P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +  \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]
P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +  \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]

Ainsi, il est établi que si le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) \vec U\, est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

(\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0) + \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right],

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

\cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)],

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur \vec V\, dans la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right] d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) 2\,\varphi\, et d'axe orienté \vec U normé.

De la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...) précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante :

Conclusion

Dans la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right] d'angle 2\,\varphi\, et d'axe orienté \vec U normé,

le transformé \vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\, de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur \vec V\, peut être calculé :

  • soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :
\left(0 \ ,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)\ \ \ \,      (formule n° 1)
  • soit grâce à l'égalité vectorielle :

\mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V) = \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)]\ \ \ \,      (formule n° 2)

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) en rapport avec la notion de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».)
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