Double produit de quaternions - Définition

Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :

,

dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type pour représenter les 3 quaternions :

.

Comme les quaternions et son inverse sont unitaires, on peut les écrire sous la forme et , d'où l'écriture :

En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

Ainsi le quaternion se décompose en avec :
et

Comme est un scalaire pur, le double produit représenté par est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
.
Par conséquent, on a :
avec .

Portons donc notre attention sur le quaternion en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
, puis :

En éliminant le produit mixte (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel , on obtient :
puis successivement :

Ainsi, il est établi que si le vecteur est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

,

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

,

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur dans la rotation d'angle et d'axe orienté normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante :

Conclusion

Dans la rotation d'angle et d'axe orienté normé,

le transformé de tout vecteur peut être calculé :

• soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :
  

(formule n° 1)

• soit grâce à l'égalité vectorielle :