Fonction diviseur
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En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs de n, où

\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a\,\!

La notation d(n) est aussi utilisée pour noter σ0(n), ou le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de diviseurs de n. La fonction sigma (Voir) σ(n) est

\sigma_{1}(n)=\sum d.

Par exemple si p est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par opposition,...),

\sigma (p)=p+1\,\!

car, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), les facteurs d'un nombre premiers sont 1 et lui-même.

Généralement, la fonction diviseur (En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs de n, où) est multiplicative, mais n'est pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant...) multiplicative.

La conséquence de ceci, si nous écrivons

n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}

alors nous avons

\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}

Nous notons aussi

s(n) = \sigma(n) - n\,\!.

Cette fonction est utilisée pour reconnaître les nombres parfaits qui ont, pour n

s(n) = n\,\!.

Par exemple, pour deux nombres premiers distincts p et q, soit

n = pq\,\!

Alors

\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q)\,\!
\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q)\,\!

Deux séries de Dirichlet impliquant la fonction diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un...) sont :

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)

et

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
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