Formule de De Moivre
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La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le " de ") dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n :

(\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)~,

ou encore

(e^{i\, x})^n = e^{inx}.

Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...).

L'expression " cos(x) + i·sin(x) " est parfois abrégée en " cis x ".

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) de la formule

Considérons trois cas.

Pour n > 0, nous procédons par récurrence. Lorsque n = 1, la formule est vraie. Soit k un entier naturel supérieur à 1 tel que la formule soit vraie. Cela signifie que

\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,

Nous avons

\begin{alignat}{2}     \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\                                       & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad {\rm dapr\grave es\;  l^{\prime}  hypoth \grave ese\; de\; r\acute ecurrence}\\                                      & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\                                       & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left\{ \left(k+1\right) x \right\} \qquad {\rm d^{\prime}apr\grave es\; les\; formules\; trigonom\acute etriques}   \end{alignat}

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du...) k + 1.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque n = 0, la formule est vraie puisque cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1, et par convention z0 = 1.

Lorsque n < 0, nous considérons un entier naturel strictement positif m tel que n = − m. Ainsi

\begin{alignat}{2}      \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\                                        & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\                                        & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\                                        & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\                                        & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\                                        & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{alignat}

Ainsi le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) est vrai pour tous les entiers relatifs n c.q.f.d..

Utilisations de la formule de De Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre...)

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n-ièmes et les racines n-ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :

z^n= r^n(\cos(nx)+ i \sin(nx)\,)

ainsi que pour obtenir les formes de cos(nx) et sin(nx) en fonction de sin(x) et cos(x).

Par exemple, pour avoir cos(2x) et sin(2x), on égale :

(\cos(x)+i\sin(x))^2 = \cos(2x)+i \sin(2x)\

On a

\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)i-\sin^2(x)\,=\cos(2x)+i \sin(2x)\,

On égalise les parties réelles et imaginaires :

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\, et
\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,

On obtient les formules trigonométriques de duplication.

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