Polynôme d'Hermite - Définition

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :

(forme dite probabiliste)

(forme dite physique)

Les deux définitions ne sont pas tout à fait équivalentes ; les polynômes d'une définition sont en " compression " ou en " expansion " par rapport à l'autre définition.

On peut effectuer le passage d'une forme à l'autre grâce à la relation suivante: .

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants (forme "probabiliste") :

on peut en réalité démontrer que le coefficient de vaut -p(p-1)/4 et que bien sûr le coefficient de est toujours nul.

Sous leur forme "physique", les premiers polynômes sont:

Orthogonalité

La n-ième fonction de la suite est un polynôme de degré n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure

c'est-à-dire que :

où δ_{n m} est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 quand n = m et 0 sinon. Ces fonctions forment une base orthogonale d'un espace de Hilbert où les fonctions satisfont la propriété suivante :

dans laquelle le produit scalaire est donné par l'intégrale

Diverses propriétés

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante :

On a aussi la suite récurrente suivante :

Les polynômes satisfont la propriété

que l'on peut écrire ainsi

Polynômes d'Hermite